ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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IndiceI EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA 11 Coordinate ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Equazione di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1 Equazione di Helmholtz nell’Intervallo . . . . . . . . . . 93.2 Equazione di Helmholtz nel Rettangolo . . . . . . . . . . 134 Equazioni delle onde e del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1 Equazioni delle onde e del calore nell’intervallo . . . . . . 144.2 Equazioni delle onde e del calore nel rettangolo . . . . . 17II ANALISI FUNZIONALE 211 Spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Basi ortonormali in spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1 Proprietà generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Proprietà spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3 Operatori autoaggiunti e unitari . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Operatori autoaggiunti non limitati . . . . . . . . . . . . 36III EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI SPECIALI 391 Equazioni Differenziali di Secondo Ordine . . . . . . . . . . . . 392 Metodo di Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Funzioni Ipergeometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1 Definizione e proprietà semplici . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Funzioni di Bessel di seconda specie . . . . . . . . . . . . 524.3 Ortogonalità e zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Altre funzioni cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Funzioni sferiche di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 60i
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Page 8 and 9: sono ortogonali. In altre parole, l
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Page 14 and 15: C = l(l + 1), dove l = m, m + 1, m
Page 16 and 17: . Condizioni di Neumann. Per trovar
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Page 20 and 21: dove n = 1, 2, 3, . . ., e(k 2 y) m
Page 22 and 23: Quindi la solzione della (I.41) ha
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Page 29 and 30: di Ω di misura zero, vengono consi
Page 31 and 32: 1. Sia Ω un sottoinsieme misurabil
Page 33 and 34: N → ∞. 3 Quindiϕ ↦→N∑(ϕ
Page 35 and 36: 5 Operatori lineariSiano X e Y due
Page 37 and 38: iniziale e poniamo x n+1 = F (x n )
Page 39 and 40: . Se Ker (λ − T ) = {0}, Im (λ
Page 41 and 42: Si può infatti dimostrare che per
Page 43: Allora esiste un’unica estensione
Page 46 and 47: dove Y 0 e Y 1 sono le soluzioni de
Page 48 and 49: e c 2 = c 5 = c 8 = . . . = 0. Di c
Page 50 and 51: dove la matrice semiinfinita T (α)
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n = 0, 1, 2, . . . e n = N + m per
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per γ − α − β > 0 e β > 0.
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4 Funzioni di BesselConsideriamo l
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Nello stesso modo si ottieneJ ν(x)
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110.50.50−0.50−1−1.5−0.50 2
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Se µ 1 e µ 2 sono zeri reali dell
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4.4 Altre funzioni cilindricheInsie
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Per ν = n ∈ Z bisogna calcolare
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5.1 Funzioni sfericheSi dice funzio
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10.50−0.5−1−1 −0.5 0 0.5 1x
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dopo un’integrazione per parti. Q
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Infatti, scriviamo F (x, h) per la
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Quindi( 2(l + m) + 121/2 ( ) ml! dP
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Allora H n (z) è un polinomio di g
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Dimostriamo ora la formula generatr
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dove abbiamo utilizzato x α+1 →
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= 1 ∫ ∞( ) n dxL n(α) (x) {x n
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La formula di ricorrenza è facile
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convergente nel senso che∫limN→
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poichè xp j (x) con j < n − 1 è
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Capitolo IVEQUAZIONI INTEGRALI1 Pro
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Dimostrazione. Siccome Ω × Ω è
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|K i (x 1 , y 1 ) − K i (x 2 , y
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trasferisce C([0, a]) in C([0, a]).
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f, g ∈ C(Ω)) segue che K(x, y) e
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c. Equazioni integrali con nucleo c
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Se λ ≠ λ k , k = 1, 2, · · ·
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Studiamo ora la condizione sotto cu
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dove p = 1, 2, · · · .Supponiamo
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Capitolo VPROBLEMI DISTURM-LIOUVILL
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Siano v 1 e v 2 soluzioni non nulle
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Nel caso in cui λ = 0 è autovalor
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543210−1−2−3−4−50 0.5 1 1
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(IV.22) con nucleo integrale G 1 (x
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dove‖f‖ 2 2 =∞∑|(f, ϕ k )|
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cioè, se e solo se µ = √ λ è
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su un intervallo illimitato, dove
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Capitolo VIFUNZIONI DI GREEN1 Class
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Osserviamo che in principio la clas
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Per dimostrare la formula (V.13), s
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Per dimostrare la parte (b), consid
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Green G N (x, y) tale cheL y [G N (
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Per trovare la soluzione unica supp
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la soluzione unica dell’equazione
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dove c ∈ L 2 (R). Sostituendo y =
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⎡ ⎧= 1 ∫ π1⎨ e i(θ−ˆθ
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Di conseguenza,f(z) = 1 ∮ [ 1f(ζ
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doveH(r, ω, ˆω) =∞∑l=1Ll( N(
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Sosituendo la (V.70) nella (V.69) e
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Quindiu(x, t) =∞∑n=1∫=Ω[∫
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑( ) ( )e
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4.2 Esempi su domini illimitatiEsem
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dove u(x) = u(−x) per x ∈ R −
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Supponiamo che l’equazione di Hel
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dove x ∈ R e t > 0. Applicando la
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Appendice ALA FUNZIONE GAMMALa funz
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(b) f(x + 1) = x f(x) per ogni x >
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= limn→∞1= limn→∞ ze −γz
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Appendice BPROPRIETÀ ASINTOTICHE1
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Sostituendo w = u √ du(2x + z)/z
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Appendice CEQUAZIONE DISCHRÖDINGER
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(d(1 − ξ 2 ) dP )]+[l(l + 1) −
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dove l = 0, 1, 2, . . . e j l e n l
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 55432
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dove φ l,n (r) = r l v l,n (r) e v
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3 Atomo d’idrogenoIn tal caso V (
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Appendice DTRASFORMATA DI FOURIER1
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Inoltre, F ammette un’estensione
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Le operazioni di derivazione D β
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Infine, dalle formule (D.6) e (D.7)
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Dalle formule (D.14) deriva che ogn
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(e) Trasformata di Fourier di simil
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Appendice EINTEGRAZIONE SECONDOLEBE
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È molto difficile individuare un s
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Inoltre,∫|f(x)| dx⎧∫ f+ (x) d
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. per n = 1, 2, 3, . . . si ha |f n
Page 205 and 206:
Appendice FFUNZIONI ANALITICHENel p
Page 207 and 208:
Teorema F.2 Sia {f n } ∞ n=1 una
Page 209 and 210:
Corollario F.6 (Teorema di Rouché)
Page 211 and 212:
Appendice GAPPROSSIMAZIONE DAPOLINO
Page 213 and 214:
Bibliografia[1] M. Abramowitz and I
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