ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

per n, m > n(ε), ossia se lim n,m→∞ ‖ϕ n − ϕ m ‖ = 0. La norma in X si dicecompleta se ogni successione di Cauchy in X è convergente in X. Uno spazionormato con norma completa si dice spazio di Banach.Siano X e Y due spazi normati, U ⊂ X e f : U → Y . Allora f si dicecontinua in ψ ∈ U se {f(ϕ n )} ∞ n=1 converge a f(ϕ) in Y per ogni successione{ϕ n } ∞ n=1 in U che converge a ϕ. La funzione f si dice continua se è continuain ogni punto ϕ ∈ U.Discutiamo ora alcuni esempi di spazi di Banach, trascurando la dimostrazionedella completezza della norma.1. Per ogni sottoinsieme chiuso e limitato Ω di R n , sia C(Ω) lo spazio vettorialedi tutte le funzioni scalari (reali o complesse) continue in Ω. Allorala funzione ‖ · ‖ ∞ : Ω → R,‖f‖ ∞ = maxz∈Ω|f(x)|,introduce una norma completa in C(Ω). Si verifica che ‖f n − f‖ ∞ → 0se e solo se f n (x) → f(x) uniformemente in x ∈ Ω.2. Sia Ω un sottoinsieme misurabile in R n . Con L 2 (Ω) si indica lo spaziovettoriale di tutte le funzioni al quadrato sommabili (nel senso di Lebesgue)in Ω, dove due funzioni per cui i valori sono diversi soltanto inun sottoinsieme di Ω di misura zero, vengono considerate uguali. Allorala funzione ‖ · ‖ 2 : L 2 (Ω) → R,è una norma completa in L 2 (Ω).(∫1/2‖f‖ 2 = |f(x)| dx) 2 ,Ω3. Sia l 2 lo spazio vettoriale di tutte le successioni {x n } ∞ n=1 scalari (reali ocomplesse) per cui la serie ∑ ∞n=1 |x n| 2 è convergente. Allora la funzione‖ · ‖ 2 : l 2 → R,( ∞) 1/2∑‖{x n } ∞ n=1‖ 2= |x n | 2 ,è una norma completa in l 2 .4. Sia Ω un sottoinsieme misurabile in R n . Con L 1 (Ω) si indica lo spaziovettoriale di tutte le funzioni sommabili (nel senso di Lebesgue) in Ω,dove due funzioni per cui i valori sono diversi soltanto in un sottoinsieme22n=1