ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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e la <strong>di</strong>visione dall’espressione X(x)Y (y)T (t) conducono al problema al contorno[T⎧⎪ ′ (t) X ′′⎨ T (t) = (x)a2X(x) + Y ]′′ (y),Y (y)(I.56)X(0) = X(L 1 ) = 0,⎪ ⎩Y (0) = Y (L 2 ) = 0,per l’equazione del calore e al problema al contorno⎧T ′′ (t)⎪⎨ T (t) = 1 [ X ′′ (x)c 2 X(x) + Y ]′′ (y),Y (y)X(0) = X(L 1 ) = 0,⎪⎩Y (0) = Y (L 2 ) = 0,per l’equazione delle onde. Otteniamo, come al solito,e dunqueX ′′ (x) + k 2 xX(x) = 0, X(0) = X(L 1 ) = 0,Y ′′ (y) + k 2 yY (y) = 0, Y (0) = Y (L 2 ) = 0,(I.57)( ) 2 nπ(k x ) 2 = ,L 1( ) 2 mπ(k y ) 2 = ,L 2X(x) ∼ sin nπxL 1,Y (y) ∼ sin mπyL 2,dove n, m = 1, 2, 3, . . .. Inoltre,T (t) = T (0) exp(−a 2 [ (nπL 1) 2+per l’equazione del calore e⎛ [ (nπT (t) = T (0) cos ⎝ t ) 2+c L 1⎛ [ (nπsin ⎝ t ) 2+c L 1+ T ′ (0)( mπL 2) 2])( ) ] ⎞21/2mπ⎠L 2( ) ] ⎞21/2mπ⎠L 2[ (nπ ) 2 ( ) ] 2 1/21mπ+c L 1 L 218
per l’equazione delle onde.Per l’equazione del calore arriviamo alla seguente soluzione completa:( [∞∑(nπ ) 2 ( ) ]) 2 mπu(x, y, t) = c n,m exp −a +sin nπx sin mπy ,L 1 L 2 L 1 L 2doven,m=1u 0 (x, y) =∞∑n,m=1c n,m = 4L 1 L 2∫ L1c n,m sin nπx0∫ L20L 1(I.58)sin mπyL 2, (I.59)u 0 (x, y) sin nπxL 1Infine l’equazione delle onde ha la seguente soluzione:⎡ ⎛ [∞∑(nπu(x, y, t) = ⎣c n,m cos ⎝ t ) 2+c Ln,m=11⎛ [ (nπsin ⎝ t ) 2 ( ) ] ⎞21/2mπ+⎠c L 1 L 2+ d n,m [ (nπ ) 2 ( ) ] 2 1/21mπ+c L 1 L 2sin mπyL 2dy dx. (I.60)( ) ] ⎞21/2mπ⎠ sin nπx sin mπyL 2 L 1 L 2⎤sin nπxL 1sin mπyL 2, (I.61)⎥⎦doveu 0 (x, y) =u 1 (x, y) =∞∑n,m=1∞∑n,m=1c n,m = 4L 1 L 2∫ L1d n,m = 4L 1 L 2∫ L1c n,m sin nπxL 1d n,m sin nπx00∫ L20∫ L20L 1sin mπyL 2, (I.62)sin mπyL 2, (I.63)u 0 (x, y) sin nπxL 1u 1 (x, y) sin nπxL 1sin mπyL 2dy dx, (I.64)sin mπyL 2dy dx. (I.65)19
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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