ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Quindi la solzione della (I.41) ha la forma( nπ(k 2 ) n =L) 2 ( nπx), X(x) ∼ sin , (I.43)Ldove n = 1, 2, 3, . . ., mentre la soluzione dei problemi temporali ha la forma⎧( ( nπ) ) 2T (t) = T (0) exp −a⎪⎨2 t , equazione del calore,L ( ) nπt( )(I.44)sinnπt⎪⎩ T (t) = T (0) cos + T ′ cL(0)cLnπt/cL , equazione delle onde.La soluzione generale della equazione del calore o delle onde è una combinazionelineare (facendo scorrere n = 1, 2, 3, . . .) delle soluzioni elementariX n (x)T n (t). Quindi la soluzione generale dell’equazione del calore ha la formadoveu(x, t) =∞∑n=1( ( nπ) ) 2 ( nπx)c n exp −a 2 t sin , (I.45)L Lu 0 (x) = u(x, 0) =∞∑ ( nπx)c n sin . (I.46)Ln=1Il coefficiente di Fourier c n viene calcolato nel seguente modo:c n = 2 L∫ L0u 0 (x) sin( nπx)dx.LD’altra parte, la soluzione generale dell’equazione delle onde ha la forma⎡( ) ⎤ nπt∞∑( ) sinu(x, t) = ⎢ nπt⎣ c cL(n cos + d n⎥ nπx)cL nπt/cL ⎦ sin , (I.47)Ln=1doveu 0 (x) = u(x, 0) =∞∑ ( nπx)c n sin , (I.48)Ln=1u 1 (x) = ∂u∂t (x, 0) = ∞∑n=1d n sin( nπx). (I.49)L16
I coefficienti di Fourier si calcolano nel seguente modo:c n = 2 Ld n = 2 L∫ L0∫ L0( nπxu 0 (x) sinL( nπxu 1 (x) sinL)dx,)dx.Se invece della (I.39) vengono imposte le condizioni di Neumann, i dettaglidella derivazione della soluzione non cambiano molto.4.2 Equazioni delle onde e del calore nel rettangoloLa risoluzione delle equazioni del calore e delle onde nel rettangolo è analoga aquella per i corrispondenti problemi unidimensionali. Al posto degli autovalorie autofunzioni dell’equazione di Helmholtz nell’intervallo si utilizzano ora quellidell’equazione di Helmholtz nel rettangolo.Consideriamo ora l’equazione del calore per (x, y) ∈ (0, L 1 ) × (0, L 2 ) concondizione iniziale[ ]∂u ∂ 2∂t = ua2∂x + ∂2 u, (I.50)2 ∂y 2u(x, y, 0) = u 0 (x, y),dove a 2 è la diffusività termica, e quella delle onde con condizione iniziali∂ 2 u∂t 2u(x, y, 0) = u 0 (x, y),∂u∂t (x, y, 0) = u 1(x, y),(I.51)= 1 [ ]∂ 2 uc 2 ∂x + ∂2 u, (I.52)2 ∂y 2(I.53)(I.54)dove c > 0 è la velocità d’onda. In ambedue casi imporremo una condizioni alcontorno, quali quella di DirichletLa separazione delle variabili{u(0, y, t) = u(L 1 , y, t) = 0, y ∈ [0, L 2 ],u(x, 0, t) = u(x, L 2 , t) = 0, x ∈ [0, L 1 ].u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t)17(I.55)
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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