ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Abbiamo bisogno di alcune informazioni sull’ordine di grandezza dei c n . Dalmomento che∫ 1−1(1 − x 2 ) n dx = 2dalla (G.1) segue che≥ 2∫ 10∫ √ 1/ n0(1 − x 2 ) n dx ≥ 2∫ 1/√ n0(1 − x 2 ) n dx(1 − nx 2 ) dx = 43 √ n > 1 √ n,c n < √ n.(G.2)Si può facilmente dimostrare la disuguaglianza (1−x 2 ) n ≥ 1−nx 2 che abbiamousato prima. 1Per ogni δ > 0, la (G.2) implicaQ n (x) ≤ √ n (1 − δ 2 ) n , δ ≤ |x| ≤ 1, (G.3)e quindi Q n → 0 uniformemente in δ ≤ |x| ≤ 1.Sia oraP n (x) =∫ 1−1f(x + t)Q n (t) dt, 0 ≤ x ≤ 1.Le ipotesi su f ci permettono a dimostrare, con un semplice cambio di variabile,cheP n (x) =∫ 1−x−xf(x + t)Q n (t) dt =∫ 10f(t)Q n (t − x) dt,e l’ultimo integrale è chiaramente un polinomio in x. Perciò la {P n } è unasuccessione di polinomi che sono reali se f è reale.Dato ε > 0, scegliamo δ > 0 tale che per |y − x| < δ si ha|f(y) − f(x)| < ε 2 .Sia M = sup |f(x)|. Servendoci dalla (G.1), della (G.3) e della relazioneQ n (x) ≥ 0, vediamo che, per 0 ≤ x ≤ 1,∫ 1∫ 1|P n (x) − f(x)|=∣ [f(x + t) − f(x)]Q n (t) dt∣ ≤ |f(x + t) − f(x)|Q n (t) dt≤ 2M−1∫ −δ−1Q n (t) dt + ε 2∫ δ−δ≤ 4M √ n (1 − δ 2 ) n + ε 2 < ε−1Q n (t) dt + 2M∫ 1δQ n (t) dtper n abbastanza grande; il che conclude la dimostrazione del teorema.✷1 È un corollario della disuguaglianza di Bernouilli.206
Bibliografia[1] M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions,Dover Publ., New York, 1964.[2] R. Courant and D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, Vol. I,Springer, Berlin, 1967.[3] R. Courant and D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, Vol. II,Springer, Berlin, 1967.[4] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable, Graduate Texts inMathematics 11, Springer, Berlin, 1975.[5] M.S.P. Eastham, The Spectral Theory of Periodic Differential Equations,Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973.[6] Enrico Giusti, Analisi Matematica 1-2 (due volumi), Bollati Boringhieri,Torino, 1989.[7] I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, Tables of Integrals, Series, and Products,Corrected and Enlarged Edition, Academic Press, New York,1980.[8] N.N. Lebedev, Special Functions and their Applications, Dover Publ., NewYork, 1965.[9] A.I. Markushevich, Theory of Functions of a Complex Variable, Vols. 1-3,Chelsea Publ., New York, 1965.[10] R.G. Newton, Scattering of Waves and Particles, Springer, New York,1982; Dover, New York, 2002.[11] Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third ed., McGraw-Hill, New York, 1976. Esiste la traduzione italiana.[12] L. Schwartz, Théorie des Distributions, 2 vols., Hermann, Paris, 1966.207
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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120
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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Page 164 and 165: da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Page 170 and 171: Quindi φ ν (z) è una soluzione d
Page 172 and 173: dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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Page 176 and 177: L’equazione (C.5) può essere ris
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Page 182 and 183: isultando in polinomi in x di grado
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Page 186 and 187: Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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Page 192 and 193: La trasformazione inversa di Fourie
Page 194 and 195: 3.1 Proprietà della trasformazione
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Page 202 and 203: Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Page 208 and 209: e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Page 214: [13] I.N. Sneddon, Special Function
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