ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

More documents

Recommendations

Info

204
Appendice GAPPROSSIMAZIONE DAPOLINOMIIn quest’appendice dimostriamo il famoso teorema di Weierstrass sull’approssimazionedelle funzioni continue da polinomi. Noi seguiamo il testo di WalterRudin [11, Teorema 8.24]. La dimostrazione fornita nell’appendice si deve aBernstein.Teorema G.1 [Weierstrass] Se f è una funzione complessa, continua in [a, b],allora esiste una successione di polinomi P n tale chelim P n(x) = f(x)n→∞uniformemente in x ∈ [a, b]. Se f è reale, si possono prendere i P n reali.Dimostrazione. Senza perdere la generalità supponiamo che [a, b] = [0, 1].Inoltre supponiamo che f(0) = f(1) = 0. Perchè, se il teorema è dimostratoin questo caso, si considerig(x) = f(x) − f(0) − x[f(1) − f(0)], 0 ≤ x ≤ 1.Allora g(0) = g(1) = 0 e, se g può essere ottenuto come limite di una successioneuniformemente convergente di polinomi, è chiaro che lo stesso vale perf, visto che f − g è un polinomio.Inoltre, per definizione, poniamo f(x) uguale a zero per x fuori da [0, 1].Allora f è uniformemente continua su tutta la retta reale.PoniamoQ n (x) = c n (1 − x 2 ) n , n ∈ N,dove c n è scelto in modo tale che∫ 1−1Q n (x) dx = 1, n ∈ N. (G.1)205
Page 1:
ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
Page 4 and 5:
5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
Page 7 and 8:
Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
Page 9 and 10:
ha la seguente rappresentazione:∆
Page 11 and 12:
dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
Page 13 and 14:
nelle variabili (x, y, z) per k > 0
Page 15 and 16:
3 Equazione di HelmholtzIn questa p
Page 17 and 18:
L’altra condizione u(L) = 0 condu
Page 19 and 20:
oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
Page 21 and 22:
dove a 2 è la diffusività termica
Page 23 and 24:
I coefficienti di Fourier si calcol
Page 25:
per l’equazione delle onde.Per l
Page 28 and 29:
per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
Page 30 and 31:
d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
Page 32 and 33:
Appena trovata una base ortonormale
Page 34 and 35:
ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
Page 36 and 37:
Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
Page 38 and 39:
Sia X uno spazio di Banach compless
Page 40 and 41:
Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
Page 42 and 43:
5.4 Operatori autoaggiunti non limi
Page 45 and 46:
Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
Page 47 and 48:
Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
Page 49 and 50:
Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
Page 51 and 52:
poichè in alcuni casi si trovano d
Page 53 and 54:
per |z| abbastanza piccola, dove il
Page 55 and 56:
Quindi la sostituzione y(x) = x −
Page 57 and 58:
come dovevasi dimostrare. La funzio
Page 59 and 60:
e dunque [vedi la (A.10) nell’App
Page 61 and 62:
dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
Page 63 and 64:
Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
Page 65 and 66:
3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
Page 67 and 68:
È anche abbastanza facile trovare
Page 69 and 70:
Consideriamo ora le funzioni sferic
Page 71 and 72:
soddisfano la (II.74) per λ = l(l
Page 73 and 74:
si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
Page 75 and 76:
5.3 Funzioni di Legendre associateS
Page 77 and 78:
convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
Page 79 and 80:
Confrontando i coefficienti di z n+
Page 81 and 82:
Derivando la (II.95) n + 1 volte e
Page 83 and 84:
40502000−20−40−50−60−80
Page 85 and 86:
otteniamo le seguenti espressioni p
Page 87 and 88:
∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
Page 89 and 90:
dove q è un polinomio di grado n
Page 91:
++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
Page 94 and 95:
dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
Page 96 and 97:
Da questa disuguaglianza segue che
Page 98 and 99:
(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
Page 100 and 101:
Risolviamo ora l’equazione di Vol
Page 102 and 103:
Dimostrazione. Come è noto, ogni s
Page 104 and 105:
Conformemente al Lemma III.5, la su
Page 106 and 107:
ECC. Supponiamo di aver trovato i n
Page 108 and 109:
Introduciamo ora la successione di
Page 110 and 111:
Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
Page 112 and 113:
L’operatore L è hermitiano, cio
Page 114 and 115:
Calcolando la derivata si trovau
Page 116 and 117:
e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
Page 118 and 119:
segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
Page 120 and 121:
Le condizioni al contorno (IV.2) si
Page 122 and 123:
implica l’impossibilità di conve
Page 124 and 125:
Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
Page 126 and 127:
120
Page 128 and 129:
dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
Page 130 and 131:
Tutte le funzioni f di classe C 2 (
Page 132 and 133:
2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
Page 134 and 135:
3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
Page 136 and 137:
Sostituendo le condizioni al contor
Page 138 and 139:
Risolvendo la (V.34) sotto la condi
Page 140 and 141:
Utilizzando il linguaggio dell’el
Page 142 and 143:
L’equazione (V.48) è un’equazi
Page 144 and 145:
dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
Page 146 and 147:
3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
Page 148 and 149:
nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
Page 150 and 151:
4 Equazioni parabolicheL’equazion
Page 152 and 153:
doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
Page 154 and 155:
e applicando la solita separazione
Page 156 and 157:
dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
Page 158 and 159:
Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
Page 160 and 161: dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
Page 162 and 163: L’equazione delle onde (V.97) con
Page 164 and 165: da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
Page 166 and 167: Il teorema A.1 può essere applicat
Page 168 and 169: 162
Page 170 and 171: Quindi φ ν (z) è una soluzione d
Page 172 and 173: dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
Page 174 and 175: dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
Page 176 and 177: L’equazione (C.5) può essere ris
Page 178 and 179: Per trovare i stati limite richiedi
Page 180 and 181: 2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
Page 182 and 183: isultando in polinomi in x di grado
Page 184 and 185: altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
Page 186 and 187: Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
Page 188 and 189: L’equazione (D.4) dimostra che F
Page 190 and 191: (d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
Page 192 and 193: La trasformazione inversa di Fourie
Page 194 and 195: 3.1 Proprietà della trasformazione
Page 196 and 197: 190
Page 198 and 199: Osservando ora che tutti gli aperti
Page 200 and 201: 3. Se f, g : R n → C sono misurab
Page 202 and 203: Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
Page 204 and 205: Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
Page 206 and 207: Sia f : G → C una funzione analit
Page 208 and 209: e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
Page 212 and 213: Abbiamo bisogno di alcune informazi
Page 214: [13] I.N. Sneddon, Special Function
show all

ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?