ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove a 2 è la diffusività termica, 2 e quella delle onde con condizioni iniziali∂ 2 u∂t = 1 ∂ 2 u2 c 2 ∂x , 2u(x, 0) = u 0 (x),∂u∂t (x, 0) = u 1(x),(I.36)(I.37)(I.38)dove c > 0 è la velocità d’onda. In ambedue casi imporremo una condizioneal contorno, quali quella di Dirichletu(0, t) = u(L, t) = 0.(I.39)Al posto delle condizioni di Dirichlet si possono imporre quelle di Neumann∂u ∂u(0, t) = (L, t) = 0.∂x ∂x (I.40)In ambedue i casi facciamo una separazione delle variabili di tipou(x, t) = X(x)T (t)e dividiamo la (I.34) e la (I.37) da X(x)T (t). Otteniamo⎧1 T⎪⎨(t)a 2 T (t) = X′′ (x)X(x) , equazione del calore,⎪⎩ c 2 T ′′ (t)T (t) = X′′ (x)X(x) , equazione delle onde,con le condizioni di DirichletX(0) = X(L) = 0.La separazione delle variabili conduce al problema di contorno{X ′′ (x) + k 2 X(x) = 0,X(0) = X(L) = 0,(I.41)più il problema in variabile temporale⎧⎨T ′ (t) = −a 2 k 2 T (t), equazione del calore,⎩T ′′ (t) = k2c T (t), equazione delle onde. (I.42)22 Infatti a 2 = K/(µρ), dove K è la conduttività termica, µ è il calore specifico e ρ è ladensità del mezzo. In generale vale l’equazione µρ(∂u/∂t) = K∆u + ∇ ⃗ K · ∇u.15