ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Corollario F.6 (Teorema di Rouché) Siano f, g funzioni meromorfe nell’apertoG. Sia γ una curva chiusa, semplice e rettificabile in G che non passaper i poli e per gli zeri di f e g, con un orientamento tale che il sottodominioΩ di G racchiuso da γ si trova alla sinistra di γ. Seallora|f(z) − g(z)| < |g(z)|, z ∈ γ, (F.5)Z f − P f = Z g − P g ,dove Z f e P f sono il numero degli zeri e dei poli della f in Ω e Z g e P g sonoil numero degli zeri e dei poli della g in Ω.Dimostrazione. L’ipotesi (F.5) implica che f/g manda γ nella palla {w ∈C : |w − 1| < 1}. In questa palla si può definire log(w) come funzione analiticatale che log(w) → 0 se w → 1. In tal caso, (log(f/g)) ′ = (f/g) ′ /(f/g) =(f ′ /f) − (g ′ /g). Quindi, utilizzando il Teorema di Cauchy e il Teorema F.5, siha0 = 1 ∫ ( )f ′ (z)2πi γ f(z) − g′ (z)dz = (Z f − P f ) − (Z g − P g ).g(z)✷Usando il Teorema di Rouché si trova facilmente una dimostrazione delTeorema Fondamentale dell’Algebra. Sia p(z) = z n + a 1 z n−1 + · · · + a n unpolinomio complesso di grado n e con coefficiente principale 1. Applichiamoil Teorema di Rouché per f(z) = p(z) e g(z) = z n . Siccome esiste R > 0 taleche ∣ ∣ ∣∣∣ f(z) ∣∣∣ g(z) − 1 ∣= ∣1 + a 1z + · · · + a ∣n ∣∣ < 1, |z| = R,z nsi può applicare il Teorema di Rouché per γ = {z ∈ C : |z| = R} e Ω = {z ∈C : |z| < R}. Abbiamo Z g = n e P f = P g = 0. Quindi Z f = n; di conseguenzap(z) ha n zeri nel dominio Ω = {z ∈ C : |z| < R}.Un’altra dimostrazione si basa sul Teorema di Liouville. Se p(z) è unpolinomio in z di grado n ∈ N senza zeri complessi, la funzione f(z) = 1/p(z)sarebbe una funzione analitica in tutto il piano complesso tale che f(z) → 0se |z| → ∞. Ciò implica che f(z) = 0 per ogni z ∈ C. Contraddizione. Diconseguenza, p(z) ha almeno uno zero complesso.203