ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w ∈ C è arbitrario, f deve essere una funzionecostante. Come corollario si afferma che una funzione analitica f : C → C conlimite zero per |z| → +∞ deve annularsi in ogni z ∈ C.Definiamo ora le funzioni meromorfe e discutiamo le loro singolarità. Inprimo luogo una funzione analitica f : G → C con f ≢ 0 ha un numerofinito o un’infinità numerabile di zeri. Un numero complesso z 0 si dice zerodi ordine m per f se f(z) = (z − z 0 ) m g(z) per g : G → C una funzioneanalitica e g(z 0 ) ≠ 0. In altri termini, z 0 è uno zero di ordine m se e solo sef(z 0 ) = f ′ (z 0 ) = · · · = f (m−1) (z 0 ) = 0 e f (m) (z 0 ) ≠ 0. Se G è un aperto in C,w ∈ G e f è analitica su G \ {w}, il punto w si dice polo di ordine m se esisteuna funzione analitica g : G → C con g(w) ≠ 0 tale che f(z) = g(z)/(z − w) mper z ∈ G \ {w}.Sia G un aperto in C. Una funzione f si dice meromorfa su G se esiste unsottoinsieme finito oppure numerabile E di G senza punti di accumulazioneall’interno di G tale che f sia analitica in G \ E ed ogni punto di E sia un polodella f.Teorema F.5 (Principio dell’argomento) Sia f una funzione meromorfanell’aperto G. Sia γ una curva chiusa, semplice e rettificabile in G che nonpassa per i poli e per gli zeri di f, con un orientamento tale che il sottodominioΩ di G racchiuso da γ si trova alla sinistra di γ. Allora∫1 f ′ (z)2πi γ f(z) dz =n∑N(z k ) −k=1m∑P (p j ),dove z 1 , · · · , z n sono gli zeri in Ω, p 1 , · · · , p m sono i poli in Ω, N(z k ) è l’ordinedello zero z k e P (p j ) è l’ordine del polo p j .j=1Dimostrazione.Posta∏ nk=1f(z) = g(z)(z − z k) N(z k)∏ mj=1 (z − p j) , P (p j)dove g(z) è una funzione meromorfa in G che non ha zeri nè poli in Ω, si haf ′ (z)f(z) =n∑k=1N(z k )z − z k−m∑j=1P (p j )+ g′ (z)z − p j g(z) ,dove g ′ (z)/g(z) è continua in Ω ∪ γ e analitica in Ω. Il teorema segue quindidal Teorema di Cauchy.✷202