ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Teorema F.2 Sia {f n } ∞ n=1 una successione di funzioni analitiche sull’apertoG tale che la serie di funzioni∞∑f n (z)n=1converga uniformemente in z ∈ K per un qualunque compatto K in G. Allorala sua somma rappresenta una funione analitica su G.Discutiamo due risultati semplici ed importanti per le funzioni analitiche.Teorema F.3 Siano f, g : G → C due funzioni analitiche sull’aperto connessoG tali che f(z) = g(z) per ogni z ∈ E, dove E è un sottoinsieme di G conalmeno un punto di accumulazione all’interno di G. Allora f(z) = g(z) perogni z ∈ G.In particolare, applicando il Teorema F.3 per g(z) ≡ 0, si vede facilmenteche una funzione analitica f ≢ 0 ha un numero finito di zeri oppure i suoi zerisi accumulano sulla frontiera di G.Adesso enunciamo il fondamentale Teorema di Liouville.Teorema F.4 Sia f : C → C una funzione analitica definita sull’intero pianocomplesso. Allora f è non limitata oppure costante.La dimostrazione è abbastanza facile. Di seguito ne diamo lo schema qui.Sia f : C → C una funzione analitica e sia C R il cerchio di centro 0 e raggio Rin C con orientamento positivo. Allora (2πi) −1 ∫ C R(z −w) −1 dz = 1 per w ∈ Ccon |w| < R (lo si controlli!) implica 2 chef(w) = 1 ∫2πi C RCiò comporta [perché?] chef ′ (w) = 1 ∫2πi C Rf(z)dz, |w| < R.z − wf(z)dz, |w| < R.(z − w)2Di conseguenza, se |f(z)| ≤ M per z ∈ C, risulterebbe|f ′ (w)| ≤ 12π 2πR M(R − |w|) , R > |w|,22 Si scriva f(z) = f(w) + [f(z) − f(w)] e si osservi che [f(z) − f(w)]/(z − w) è analiticain z ∈ C. Poi si applichi il Teorema di Cauchy.201