ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Sia f : G → C una funzione analitica su un aperto G in C. All’apertoG ⊂ C facciamo corrispondere un aperto ˜G ⊂ R 2 tale che (x, y) ∈ ˜G se e solose x + i y ∈ G. Ora definiamo u, v : ˜G → R dalla formulaf(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y),(x, y) ∈ ˜G.Allora u, v : ˜G → R sono differenziabili (nel senso del corso di Analisi MatematicaIII), esiste un numero infinito di derivate parziali successive di u e vrispetto ad x ed y, e valgono le cosiddette equazioni di Cauchy-Riemann 1In tal caso, abbiamo∂u∂x = ∂v∂y ,∂u∂y = −∂v ∂x .(F.2)∂ 2 u∂x 2 + ∂2 u∂y 2 = ∂2 v∂x∂y − ∂2 v∂y∂x = 0,∂ 2 v∂x + ∂2 v2 ∂y = − ∂2 u2 ∂x∂y + ∂2 u∂y∂x= 0. (F.3)Usando l’uguaglianza (simbolica) (u + iv)(dx + i dy) = (u dx − v dy) + i(v dx +u dy), si vede facilmente (dalla (F.2)) che le forme differenziali u dx − v dy ev dx + u dy sono ambedue chiuse. Quindi, se ˜G (oppure G) è semplicementeconnesso, queste due forme differenziali sono esatte. Di conseguenza, se G èsemplicemente connesso e γ è una curva chiusa e rettificabile (cioè, di lunghezzaben definita e finita) in G, allora∫∫(u dx − v dy) = 0, (v dx + u dy) = 0,˜γdove ˜γ = {(x, y) ∈ R 2 : x + i y ∈ γ}. Ciò implica che∫∫∫f(z) dz = (u dx − v dy) + i (v dx + u dy) = 0. (F.4)γ˜γL’affermazione (F.4) si chiama il Teorema di Cauchy. È il risultato più importantedella teoria delle funzioni analitiche. Osserviamo che purtroppo il ragionamentoseguito non è una dimostrazione esaustiva e quindi completamenterigorosa.Enunciamo adesso due altri importanti teoremi (collegati al precedente).Teorema F.1 Sia {f n } ∞ n=1 una successione di funzioni analitiche sull’apertoG che converga ad una funzione f : G → C uniformemente in z ∈ K per unqualunque compatto K in G. Allora f è analitica.1 Se si specifica il valore della f nel punto a ∈ G, allora f(z) = 2u( 1 2 [z + a], 1 2i[z − a]) −f(a) = 2iv( 1 2 [z + a], 1 2i[z − a]) + f(a) per z ∈ G. Vedi [15].200˜γ˜γ