ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m → C, scritta come funzione di z =(x, y) con x ∈ R n , y ∈ R m e z ∈ R n+m , misurabile e non negativa, oppuresommabile. Allora∫(∫f(z) dz =R∫R n+m n R m) (∫f(x, y) dy dx =∫R m R nIn particolare, la (D.1) vale nei seguenti casi:)f(x, y) dx dy. (E.1)1. almeno uno degli integrali ∫ ∫ |f(x, y)| dy dx e ∫ ∫ |f(x, y)| dx dy è finito.2. La f è non negativa quasi ovunque.198
Appendice FFUNZIONI ANALITICHENel presente corso faremo uso di alcune proprietà (da discutere in questoparagrafo) delle funzioni analitiche.Sia f : G → C, dove G è un aperto in C. Allora f si dice analitica seè derivabile rispetto alla variabile complessa z ∈ G e la sua derivata f ′ ècontinua. In altre parole, per ogni w ∈ G esiste un numero complesso f ′ (w)tale chef(z) = f(w) + (z − w) [f ′ (w) + ε(z)] ,dove |ε(z)| → 0 se |z − w| → 0 per z ∈ G; inoltre, la funzione f ′ : G →C è continua. Una funzione analitica è continua. Inoltre valgono le regoleper l’analiticità della somma, del prodotto e della composta di due funzionianalitiche analoghe quelle che valgono per le funzioni derivabili in una variabilereale.Sia f : G → C una funzione definita su un aperto G in C che è rappresentabilecome la somma di una serie di potenze avente raggio di convergenzapositiva in ogni punto w ∈ G. Ciòe, per ogni w ∈ G esistono coefficienti{a n (w)} ∞ n=0 ed un numero positivo R(w) tali chef(z) =∞∑a n (w)(z − w) n , |z − w| < R(w). (F.1)n=0In tal caso f è analitica indefinitamente derivabile:f (k) (z) =∞∑(n+k)(n+k −1) · · · (n+1)a n+k (w)(z −w) n , |z −w| < R(z 0 ),n=0mentre a n (w) = f (n) (w)/(n!). D’altra parte, una funzione analitica f : G → Csi può scrivere nella forma (F.1) per un opportuno R(w) > 0 per ogni w ∈ G.199
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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120
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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Page 156 and 157: dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
Page 158 and 159: Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
Page 160 and 161: dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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Page 164 and 165: da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Page 170 and 171: Quindi φ ν (z) è una soluzione d
Page 172 and 173: dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
Page 174 and 175: dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
Page 176 and 177: L’equazione (C.5) può essere ris
Page 178 and 179: Per trovare i stati limite richiedi
Page 180 and 181: 2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
Page 182 and 183: isultando in polinomi in x di grado
Page 184 and 185: altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
Page 186 and 187: Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
Page 188 and 189: L’equazione (D.4) dimostra che F
Page 190 and 191: (d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
Page 192 and 193: La trasformazione inversa di Fourie
Page 194 and 195: 3.1 Proprietà della trasformazione
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Page 212 and 213: Abbiamo bisogno di alcune informazi
Page 214: [13] I.N. Sneddon, Special Function
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