ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

. per n = 1, 2, 3, . . . si ha |f n (x)| ≤ g(x) per quasi ogni x, dove g èsommabile.Allora∫limn→∞∫f n (x) dx =f(x) dx.La seconda condizione è assolutamente necessaria.Esempio E.4 Sia φ : R → R una funzione continua e non negativa tale che∫lim φ(x) = 0,x→±∞∞−∞φ(x) dx = 1.Ponendo f n (x) = φ(x − n), si vede facilmente che∫∫lim f n (x) dx = 1, lim f n(x) dx = 0.n→∞n→∞} {{ }} {{ }sempre uguale ad 1uguale a 0 q.o.Dunque non è consentita l’applicazione del Teorema della Convergenza Dominata.Esempio E.5 Sia φ : R → R + una funzione continua e non negativa tale cheφ(0) > 0,∫lim xφ(x) = 0,x→±∞∞−∞φ(x) dx = 1.Ponendo f n (x) = nφ(nx), si vede subito che f n (x) → 0 per x ≠ 0 e f n (0) →+∞. Quindi∫∫lim f n (x) dx = 1, lim f n(x) dx = 0.n→∞n→∞} {{ }} {{ }sempre uguale ad 1uguale a 0 q.o.Dunque non è consentita l’applicazione del Teorema della Convergenza Dominata.Il Teorema della Convergenza Dominata è fondamentale e ha molti corollaridi importanza. Per esempio, sia f(·, ξ) : R n × Ω → C una funzione sommabileche depende in modo continuo dal parametro ξ ∈ Ω. Allora ∫ f(x, ξ) dxdepende in modo continuo da ξ ∈ Ω se esiste una funzione sommabileg : R n → C tale che |f(x, ξ)| ≤ g(x) per quasi ogni x ∈ R n e ogni ξ ∈ Ω. Infatti,scegliendo η ∈ Ω, basterebbe considerare una successione in {η n } ∞ n=1 in Ωconvergente ad η e la successione di funzioni f n (x) = f(x, η n ) per n = 1, 2, 3, . . .per dimostrare il corollario.L’ultimo risultato riguarda il cambio dell’ordine di integrazione.197