ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Esempio E.2 Sia f : R + → R definita da⎧⎨sin(x)f(x) = x , x > 0,⎩1, x = 0.Allora la f è continua per x ≥ 0 e quindi misurabile.Riemann generalizzataVale l’integrale di∫ ∞0sin(x)x∫ Ndx def= limN→+∞0sin(x)xdx = π 2 .Purtroppo questo integrale non è un integrale di Lebesgue. Infatti,⎧⎨sin(x), 2(n − 1)π ≤ x ≤ (2n − 1)π,f + (x) = x⎩0, altrove;⎧⎨− sin(x) , (2n − 1)π ≤ x ≤ 2nπ,f − (x) = x⎩0, altrove,dove n = 1, 2, 3, . . .. Osservando che∫ (2n−1)π∫ 2nπsin(x) dx = − sin(x) dx = 1,2(n−1)π(2n−1)πsi vede facilmente che∫∫f + (x) dx ≥f − (x) dx ≥∞∑n=1∞∑n=11(2n − 1)π = +∞,12nπ = +∞.Quindi ∫ f(x) dx non esiste nel senso di Lebesgue.3 Alcuni Teoremi ImportantiIl seguente risultato riguarda lo scambio tra limite e integrazione.Teorema E.3 (della convergenza dominata, di Lebesgue) Sia {f n } ∞ n=1una successione di funzioni misurabili tali chea. lim n→∞ f n (x) = f(x) per quasi ogni x,196