ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

3. Se f, g : R n → C sono misurabili, allora fg è misurabile.4. Se f : R n → C e g : C → C sono misurabili, allora il prodotto dicomposizione g ◦ f : R n → C è misurabile.5. Se f, g : R n → R sono misurabili, allora max(f, g), min(f, g), |f| =max(f, −f), f + = max(f, 0) e f − = max(−f, 0) sono misurabili.6. Se f 1 , f 2 , . . . sono misurabili e f = lim n→∞ f n , allora f è misurabile.Definiamo ora l’integrale di Lebesgue per le funzioni misurabili non negative.Sia f : R n → R + misurabile e non negativa. Allora esiste una successionecrescente di funzioni semplici non negative {f n } ∞ n=1 tali che f(x) =lim n→∞ f n (x) per ogni x ∈ R n (tranne in un sottoinsieme di misura zero). Intal caso la successione degli integrali di Lebesgue ∫ f n (x) dx è crescente e ilsuo limite (che potrebbe essere uguale a +∞) si definisce come l’integrale diLebesgue della f:∫∫f(x) dx = lim f n (x) dx.n→∞Nel seguente teorema i valori degli integrali possono essere uguali a +∞.Teorema E.1 (Beppo-Levi) Sia {f n } ∞ n=1 una successione crescente di funzionimisurabili non negative. Sia f(x) = lim n→∞ f n (x) per x ∈ R n . Allora∫limn→∞∫f n (x) dx =f(x) dx.Passiamo ora all’integrazione delle funzioni a valori reali. Sia f : R n → Rmisurabile. Poniamo f ± = max(±f, 0). Allora f ± : R n → R + sono misurabilie non negative e f + − f − = f. Poniamo ora∫def=f(x) dx⎧∫ f+ (x) dx − ∫ f − (x) dx se ambedue gli integrali sono finiti,⎪⎨+∞ se ∫ f + (x) dx = +∞ e ∫ f − (x) dx < +∞,−∞⎪⎩non esistentese ∫ f + (x) dx < +∞ e ∫ f − (x) dx = +∞,se ∫ f + (x) dx = ∫ f − (x) dx = +∞.194