ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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dove n = 1, 2, 3, . . ., e(k 2 y) m =( ) 2√ ( )mπ2 mπy, ϕ m (y) = sin , (I.32)L 2 L 2 L 2dove m = 1, 2, 3, . . .. Di conseguenza, gli autovalori e autofunzioni normalizzatedel problema bidimensionale sono( )( ) ( )n(k 2 ) n,m = π 2 2+ m22 nπx mπy, ϕL 2 1 L 2 n,m (x, y) = √ sin sin ,2L1 L 2 L 1 L 2(I.33)dove n, m = 1, 2, 3, . . .. Le autofunzioni formano una base ortonormale inL 2 ((0, L 1 ) × (0, L 2 )).Su tutte le 4 parti del bordo, {0} × [0, L 2 ], {L 1 } × [0, L 2 ], [0, L 1 ] × {0}e [0, L 1 ] × {L 2 }, si possono imporre diverse condizioni al contorno, quali lecondizioni di Dirichlet, quelle di Neumann e quelle miste. In tutti questi casi sipossono separare le variabili e risolvere i problemi al contorno unidimensionaliche ne risultano.L’equazione di Helmholtz si può risolvere per separazione delle variabilianche nei parallelopepidi multidimensionali in dimensione ≥ 3. Per esempio,in tre dimensioni, nel dominio (0, L 1 ) × (0, L 2 ) × (0, L 3 ), e sotto le condizionidi Dirichlet escono gli autovalori e autofunzioni(k 2 ) n,m,l = π 2 ( n2L 2 1+ m2L 2 2ϕ n,m,l (x, y, z) = 2√ 2√L1 L 2 L 3sindove n, m, l = 1, 2, 3, . . ..+ l2L 2 3),( nπxL 1)sin( ) ( )mπy lπzsin ,L 2 L 34 Equazioni delle onde e del caloreDiscutiamo ora alcuni casi in cui è abbastanza facile calcolare esplicitamentele soluzioni delle equazioni del calore e delle onde.4.1 Equazioni delle onde e del calore nell’intervalloConsideriamo ora l’equazione del calore per x ∈ (0, L) con condizione iniziale∂u∂t = ∂2 ua2∂x , 2u(x, 0) = u 0 (x),(I.34)(I.35)14
dove a 2 è la diffusività termica, 2 e quella delle onde con condizioni iniziali∂ 2 u∂t = 1 ∂ 2 u2 c 2 ∂x , 2u(x, 0) = u 0 (x),∂u∂t (x, 0) = u 1(x),(I.36)(I.37)(I.38)dove c > 0 è la velocità d’onda. In ambedue casi imporremo una condizioneal contorno, quali quella di Dirichletu(0, t) = u(L, t) = 0.(I.39)Al posto delle condizioni di Dirichlet si possono imporre quelle di Neumann∂u ∂u(0, t) = (L, t) = 0.∂x ∂x (I.40)In ambedue i casi facciamo una separazione delle variabili di tipou(x, t) = X(x)T (t)e dividiamo la (I.34) e la (I.37) da X(x)T (t). Otteniamo⎧1 T⎪⎨(t)a 2 T (t) = X′′ (x)X(x) , equazione del calore,⎪⎩ c 2 T ′′ (t)T (t) = X′′ (x)X(x) , equazione delle onde,con le condizioni di DirichletX(0) = X(L) = 0.La separazione delle variabili conduce al problema di contorno{X ′′ (x) + k 2 X(x) = 0,X(0) = X(L) = 0,(I.41)più il problema in variabile temporale⎧⎨T ′ (t) = −a 2 k 2 T (t), equazione del calore,⎩T ′′ (t) = k2c T (t), equazione delle onde. (I.42)22 Infatti a 2 = K/(µρ), dove K è la conduttività termica, µ è il calore specifico e ρ è ladensità del mezzo. In generale vale l’equazione µρ(∂u/∂t) = K∆u + ∇ ⃗ K · ∇u.15
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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