ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Osservando ora che tutti gli aperti sono unioni finite o numerabili di palle, sipuò estendere la misura a qualsiasi sottoinsieme aperto di R n .Sia Σ la cosiddetta σ-algebra degli insiemi di Borel in R n , dove σ-algebravuol dire una famiglia di sottoinsiemi chiusa rispetta all’unione finita e numerabile,all’intersezione finita e numerabile e alla complementazione che contienel’insieme vuoto e R n stesso, insieme con la misura di Borel. Questa misura hale seguenti proprietà:1. m(∅) = 0 e m(R n ) = +∞,2. Se {B n } ∞ n=1 è una famiglia numerabile di insiemi di Borel due a duedisgiunti, allora ∪ ∞ n=1 B n è un insieme di Borel e( ∞)⋃∞∑m B n = m(B n ).n=1Di conseguenza, se {C n } ∞ n=1 è una successione crescente di insiemi di Borel,allora( ∞)⋃m C n = lim m(C n ).n→∞n=1Purtroppo la σ-algebra degli insiemi di Borel ha la proprietà che non tuttii sottoinsiemi degli insiemi di Borel di misura zero sono di Borel. Per questomotivo la σ-algebra di Borel viene estesa a quella di Lebesgue: Un sottoinsiemeA di R n si dice misurabile (secondo Lebesgue) se esiste un insieme di Borel Btale che la cosiddetta differenza simmetrica A△B def= (A \ B) ∪ (B \ A) è unsottoinsieme di un insieme di Borel di misura zero. In tal caso si definiscecome la misura m(A) quella dell’insieme di Borel B. Si può dimostrare che gliinsiemi misurabili secondo Lebesgue costituiscono una σ-algebra con le seguentiproprietà:1. m(∅) = 0 e m(R n ) = +∞,2. Se {B n } ∞ n=1 è una famiglia numerabile di insiemi misurabili due a duedisgiunti, allora ∪ ∞ n=1 B n è un insieme misurabile e( ∞)⋃∞∑m B n = m(B n ).n=1Di conseguenza, se {C n } ∞ n=1 è una successione crescente di insiemi misurabili,allora( ∞)⋃m C n = lim m(C n ).n→∞n=1192n=1n=1