ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni derivata D α f ∈ S ′ . Infatti, visto che l’operazionedi derivazione D α ϕ è continua da S in S, il secondo membrodell’uguaglianza(D α f, ϕ) = (−1) |α| (f, D α ϕ), ϕ ∈ S,è un funzionale lineare continuo su S.(e) Sia n = 1. Allora la funzione di Heaviside H, H(x) = 1 per x > 0 eH(x) = 0 per x < 0, induce il funzionale linearef H↦→∫ ∞In tal caso, per f ∈ S ′ e ϕ ∈ S risulta(H ′ , ϕ) = −(H, ϕ) = −Di conseguenza, H ′ = δ in S ′ .0f(x) dx, f ∈ S.∫ ∞3 Trasformata di Fourier in S ′0ϕ ′ (x) dx = ϕ(0) = (δ, ϕ).La proprietà rimarchevole della classe delle funzioni generalizzate di crescitalenta consiste nel fatto che l’operazione di trasformazione di Fourier non portafuori dai limiti di questa classe.Visto che le funzioni fondamentali appartenenti a S sono sommabili in R n ,su queste funzioni è definita l’operazione F di trasformazione di Fourier∫F [ϕ](ξ) = ϕ(x)e −i(ξ,x) dx, ϕ ∈ S.In questo caso la funzione F [ϕ](ξ) la quale rappresenta la trasformata di Fourierdella funzione ϕ, è limitata e continua in R n . La funzione fondamentaleϕ decresce all’infinito più rapidamente di qualunque potenza positiva di1/|x| e perciò la sua trasformata di Fourier può essere derivata sotto il segnod’integrale un numero di volte arbitrario:∫D α F [ϕ](ξ) = (−ix) α ϕ(x)e −i(ξ,x) dx = F [(−ix) α ϕ](ξ), (D.6)da cui segue che F [ϕ] ∈ C ∞ (R n ). Inoltre, possiede le stesse proprietà ogniderivata D α ϕ e quindi∫ (DF [D β ϕ](ξ) =β ϕ(x) ) ∫e −i(ξ,x) dx = (−1) |β| ϕ(x)D ( β e −i(ξ,x)) dx= (−1) |β| (−iξ) β F [ϕ](ξ) = (iξ) β F [ϕ](ξ). (D.7)184