ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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543210−1−2−3−4−50 0.5 1 1.5 2 2.5 3kFigura I.1: Il plot contiene i grafici delle funzioni y = tan(xL) e y = −k tan αper L = 5 e α = π . Gli autovalori sono i valori di k > 03corrispondenti ai loro punti di intersezione.dove tan α > 0. Cercando i punti di intersezione positivi tra il grafico dellafunzione k ↦→ tan(kL) e la retta k ↦→ −k tan α con coefficiente angolare negativo,troviamo una successione infinita di autovalori λ n = k 2 n (n = 1, 2, 3, . . .).Le corrispondenti autofunzioni si possono normalizzare in L 2 (0, L), risultandoin una base ortonormale di L 2 (0, L).g. Condizioni Miste Diverse. Ci limitiamo al caso in cui α, β ∈ (0, π ). In2tal caso la soluzioneu(x) ∼ c 1 cos(kx) + c 2sin(kx)kper le opportune costanti c 1 , c 2 e per k > 0 soddisfa alle due condizionic 1 cos β − c 2 sin β = 0,(I.24)[c 1 [cos α cos(kL) − k sin α sin(kL)] + c 2 cos α sin(kL)]+ sin α cos(kL) = 0.k(I.25)L’esistenza di una soluzione non banale conduce alla condizione[cos β cos α sin(kL)]+ sin α cos(kL)k+ sin β [cos α cos(kL) − k sin α sin(kL)] = 0,12
oppure[ cos α cos βsin(α + β) cos(kL) = −k]− k sin α sin β sin(kL).Si cerchino i punti di intersezione positivi tra il grafico della funzione k ↦→tan(kL) e quello della funzione razionalek sin(α + β)k ↦→ −cos α cos β − k 2 sin α sin β .3.2 Equazione di Helmholtz nel RettangoloConsideriamo ora l’equazione di Helmholtz∂ 2 u∂x + ∂2 u2 ∂y + 2 k2 u(x, y) = 0,(I.26)dove 0 < x < L 1 , 0 < y < L 2 e vengono imposte le seguenti condizioni diDirichlet:u(x, y) = 0, x = 0, L 1 oppure y = 0, L 2 . (I.27)Separando le variabili, cioè ponendou(x, y) = X(x)Y (y),e dividendo la (I.26) da X(x)Y (y) otteniamoX ′′ (x)X(x) + Y ′′ (y)Y (y) + k2 = 0.Quindi esistono costanti k 2 x e k 2 y tali che{X ′′ (x) + k 2 xX(x) = 0,X(0) = X(L 1 ) = 0,{Y ′′ (y) + kyY 2 (y) = 0,Y (0) = Y (L 2 ) = 0,k 2 x + k 2 y = k 2 .(I.28)(I.29)(I.30)Quindi i problemi al contorno nelle variabili x e y sono ambedue problemi alcontorno per l’equazione di Helmholtz in una variabile con le condizioni diDirichlet. Quindi i loro autovalori e le loro autofunzioni normalizzate sono(k 2 x) n =( nπL 1) 2, ϕ n (x) =13√2L 1sin( nπxL 1), (I.31)
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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