ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

L’equazione (D.4) dimostra che F può essere estesa ad un operatore lineareF da L 2 (R) in L 2 (R) che soddisfa (D.4). Infine, siccome F manda il sottospaziodenso L 1 (R) ∩ L 2 (R) di L 2 (R) nel sottospazio denso C(R) ∩ L 2 (R) di L 2 (R) el’immagine di F è chiuso, F è un operatore invertibile su L 2 (R).La generalizzazione ad n ∈ N segue applicando n trasformazioni di Fourierunidimensionali in seguito.✷Corollario D.3 Sia f ∈ L 2 (R n ). Allora l’operatore inverso ha la formaF −1 [f](ξ) = 1(2π) F [f](−ξ) = 1 ∫f(x)e i(x,ξ) dx. (D.5)n (2π) nDimostrazione. Si ricordi che (·, ·) c è il prodotto scalare complesso inL 2 (R n ). Allora per f, g ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ) segue(F [f], g) c = (F [f], g) = (f, F [g]) = (f, F [g](−ξ)) c ,e questa relazione si generalizza per f, g ∈ L 2 (R n ). Dalla (D.4) segue che(f, g) c = (2π) −n (F [f], F [g]) c = (2π) −n (f, F [F [g]](−ξ)) c ,dove f, g ∈ L 2 (R n ). Siccome f, g sono arbitrarie, è valida la (D.5).Dal Corollario D.3 si vede subito che (2π) −n/2 F è un operatore lineare unitariosullo spazio di Hilbert complesso L 2 (R n ). L’applicazione dell’operatorelineare (2π) −n/2 F ad una funzione f ∈ L 2 (R n ) non ne cambia la norma L 2 .2 Funzioni Generalizzate di Crescita LentaUno dei metodi più efficaci di risoluzione dei problemi della fisica matematicaè il metodo delle trasformate di Fourier. Nel prossimo paragrafo sarà espostala teoria della trasformata di Fourier per le cosidette funzioni generalizzatedi crescita lenta (distribuzioni rinvenute). Per questa ragione bisogna primastudiare la classe delle funzioni generalizzate di crescita lenta.Riportiamo nell’insieme delle funzioni fondamentali S = S(R n ) tutte lefunzioni della classe C ∞ (R n ) decrescenti, per |x| → +∞, con tutte le derivatepiù rapidamente di ogni potenza non negativa di 1/|x|. Definiamo la convergenzain S come segue: la successione delle funzioni ϕ 1 , ϕ 2 , · · · , da S convergead una funzione ϕ ∈ S, cioè ϕ k → ϕ per k → ∞ in S, se, per tutti i valori deimoltiindici 5 α e β, si halim sup∣ x β D α ϕ k (x) − x β D α ϕ(x) ∣ = 0.k→∞ x∈R n5 Se x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ R n , α = (α 1 , · · · , α n ) ∈ (N ∪ {0}) n e β = (β 1 , · · · , β n ) ∈(N ∪ {0}) n , allora x β = x β11 · · · xβn n e D α ϕ(x) = Dx α11Dx α22 · · · Dx αnnϕ(x). Secondo il teorema diSchwartz, l’ordine di derivazione parziale non importa. Inoltre, |α| = α 1 + · · · + α n .182✷