ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre, siano (·, ·) c il prodotto scalare complesso diL 2 (R n ) e (·, ·) quello reale. Allora F [f], F [g] ∈ L ∞ (R n ). In tal caso risulta perf, g ∈ L 1 (R n )∫ [∫](F [f], g) = f(x)e −i(x,ξ) dx g(ξ) dξ∫ [∫]= f(x) g(ξ)e −i(ξ,x) dξ dx = (f, F [g]); (D.1)∫ [∫](F [f], g) c = f(x)e −i(x,ξ) dx g(ξ)dξ∫=[∫f(x)]g(ξ)e i(ξ,x) dξ dx = (f, F [g](−ξ)) c ,(D.2)dove il secondo passaggio è giustificato grazie al teorema di Fubini. 4Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Allora il teorema di Fubini dimostra che il prodottodi convoluzione∫∫(f ∗ g)(x) = f(y)g(x − y) dy = f(x − y)g(y) dyconduce ad una funzione f ∗ g ∈ L 1 (R n ). Dal teorema di Fubini segue chef ∗ g = g ∗ f,(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),dove f, g, h ∈ L 1 (R n ). Applicando la trasformazione z = x − y con y fissato siha∫ (∫)F [f ∗ g](ξ) = f(y)g(x − y) dy e −i(x,ξ) dx∫ (∫)= f(y)e −i(y,ξ) g(z)e −i(z,ξ) dy dz = F [f](ξ)F [g](ξ). (D.3)In altre parole, la trasformata di Fourier manda l’algebra L 1 (R n ) dove la moltiplicazioneè il prodotto di convoluzione, nell’algebra C(R n ) dove la moltiplicazioneè il prodotto algebrico usuale.Consideriamo ora la trasformata di Fourier su L 2 (R n ).Teorema D.2 (di Plancherel) Sia f ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ). Allora∫∫1|F [f](ξ)| 2 dξ = |f(x)| 2 dx.(2π) n(D.4)4 Sia f(t, s) una funzione misurabile di due variabili. Supponiamo che almeno uno degliintegrali ripetuti ∫ ( ∫ |f(t, s)| ds)dt e ∫ ( ∫ |f(t, s)| dt)ds sia convergente. Allora si puòscambiare l’ordine di integrazione: ∫ ( ∫ f(t, s) ds)dt = ∫ ( ∫ f(t, s) dt)ds.180
Inoltre, F ammette un’estensione lineare ad L 2 (R n ) che soddisfa la (D.4) perogni f ∈ L 2 (R n ) ed è un operatore invertibile su L 2 (R n ).Dimostrazione. Prima diamo la dimostrazione per n = 1.Sia f una funzione continua e regolare a tratti con supporto in (−π, π).Allora la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f in x ∈ [−π, π](vedi [6], Teorema 2.5.2, Vol. 2):f(x) = a 02 + ∞∑n=1= a 02 + ∞∑n=1(a n cos(nx) + b n sen (nx))(an − ib n2e inx + a )n + ib ne −inx =2dove c n = (1/2π) ∫ π−π f(x)e−inx dx = (2π) −1 F [f](−n) e∫ π−π|f(x)| 2 dx = π= 2π(|a 0 | 22∞∑n=−∞+)∞∑(|a n | 2 + |b n | 2 )n=1|c n | 2 = 12π∞∑n=−∞∞∑n=−∞|F [f](−n)| 2 .c n e inx ,Siccome c n [e −ixt f] = (2π) −1 F [f](n + t) per ogni n ∈ Z, t ∈ R e |f(x)| 2 =|e −ixt f(x)| 2 , risulta∫ ∞−∞|f(x)| 2 dx =∫ 1 ∫ ∞0= 12π−∞∞∑n=−∞|f(x)| 2 dxdt∫ 10|F [f](n + t)| 2 dt = 1 ∫ ∞|F [f](ξ)| 2 dξ.2π −∞Se f ha supporto compatto in R, si scelga c > 0 tale che g(x) = c 1/2 f(cx)ha supporto in (−π, π). In tal caso∫ ∞−∞|f(x)| 2 dx =∫ ∞= 12π−∞∫ ∞|g(x)| 2 dx−∞|F [g](ξ)| 2 dξ = 12π∫ ∞−∞|F [f](ξ)| 2 dξ.Se f ∈ L 1 (R)∩L 2 (R), approssimiamo f da funzioni continue e regolari a tratticon supporto compatto e troviamo la stessa relazione.181
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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120
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Page 156 and 157: dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Page 172 and 173: dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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Page 212 and 213: Abbiamo bisogno di alcune informazi
Page 214: [13] I.N. Sneddon, Special Function
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