ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

3 Atomo d’idrogenoIn tal caso V (r) = −e 2 /r, dove e è la carica dell’elettrone. Ponendo λ =−κ 2 per κ > 0 (cioè, richiedendo che l’energia sia negativa), l’equazione diSchrödinger (C.10) ha la seguente forma:S ′′ (r) +(−κ 2 + e2r)l(l + 1)− S(r) = 0,r 2(C.30)dove l = 0, 1, 2, · · · . Sostituendo S(r) = e −κr w(r) otteniamo( ew ′′ (r) − 2κw ′ 2(r) +r)l(l + 1)− w(r) = 0.r 2(C.31)Sostituendo ora w(r) = r α ∑ ∞s=0 c sr s si ottiene∞∑ [ ]{(α + s)(α + s − 1) − l(l + 1)}cs +{e 2 − 2κ(α + s − 1)}c s−1 r α+s−2 = 0.s=0(C.32)Osserviamo che il termine costante nella (C.32) coincide con (α−l−1)(α+l)c 0 .Scegliendo α = l + 1 (escludendo α = −l) otteniamoc sc s−1=2κ(s + l) − e2, s = 1, 2, 3, · · · . (C.33)s(s + 2l + 1)Per produrre soluzioni polinomiali richiediamo che κ = (e 2 /2n) per n =l + 1, l + 2, · · · . 3 In tal caso risulta c n−l = c n+1−l = · · · = 0; dunque w(r) =r l+1 v(r), dove v(r) è un polinomio in r di grado n − l − 1. In altre parole,⎧⎨κ 2 n = − e4, n = l + 1, l + 2, · · · ,4n2 ⎩ψ(r, θ, ϕ) = r l+1 e −e2r/2n v l,n−l−1 (r)Yl m (θ, ϕ), m = −l, −l + 1, · · · , l.(C.34)Ponendo w(r) = r l+1 v(r), t = 2κr, e 2 = 2κn e ṽ(t) = v(r), otteniamot ṽ ′′ (t) + (2l + 2 − t)ṽ ′ (t) + (n − l − 1)ṽ(t) = 0.(C.35)Sostituendo x ↦→ t, α ↦→ 2l + 1 e n ↦→ n − l − 1 nell’equazione differenzialedi Laguerre si arriva alla (C.35). Dunque ṽ(t) è proporzionale a L (2l+1)n−l−1(t). In3 Si pone n = s + l, dove s = 1, 2, . . . e l = 0, 1, 2, . . .. Quindi n = 1, 2, 3, . . . e l =0, 1, . . . , n − 1.177