ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

isultando in polinomi in x di grado n = 1, 3, 5, · · · se kx 2 = 2c(2n+1). Insiemetroviamo le seguenti soluzioni X n (x) = φ n (x)e −cx2 , dove φ n (x) è un polinomiodi grado n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · e kx 2 = 2c(2n + 1). Raccogliendo X, Y e Z risulta{k 2 = 2c(2n + 3), n = 0, 1, 2, 3, · · · ,ψ(x, y, z) = e −c(x2 +y 2 +z 2) (C.29)φ n1 (x)φ n2 (y)φ n3 (z),dove n = n 1 + n 2 + n 3 .c. Analisi dei polinomi. Sostituendo z = x √ 2c e v(z) = φ(x) si arrivaall’equazione differenziale di Hermite (II.86). Quindi i polinomi φ n (x) nella(C.29) sono proporzionali a H n (x √ 2c), dove H n è il polinomio di Hermite digrado n. Vale la relazione d’ortogonalità [vedi la (II.88)]∫ ∞−∞H n (x √ 2c)H m (x √ 2c)e −2cx2 dx = 2n (n!) √ π√2cδ n,m ,dove δ n,m è la delta di Kronecker.I polinomi w m (t) (m = n − l = 0, 1, 2, . . .) soddisfano l’equazione differenzialetw ′′ m(t) + (l + 3 2 − t)w′ m(t) + mw m (t) = 0.Quest’ultima equazione coincide con l’equazione differenziale di Laguerre perα = l + 1 [vedi la (II.96)]. Quindi w 2 m(t) è proporzionale al polinomio diLaguerre L (l+ 1 2 )m (t). In altre parole,φ l,n (r) = cost.r l L (l+ 1 2 )n−l(2cr 2 ).Calcoliamo ora il numero N n di autofunzioni linearmente indipendenti corrispondentiallo stesso livello di energia, cioè allo stesso intero n = 0, 1, 2, . . ..Dalla derivazione in coordinate cartesiane segue che N n è uguale al numero dipunti (n 1 , n 2 , n 3 ) con coordinate intere non negative per cui n 1 + n 2 + n 3 = n.Dalla derivazione in coordinate sferiche segue che⎧#{(n ⎪⎨ 1 , n 2 , n 3 ) ∈ Z + : n 1 + n 2 + n 3 = n} = 1 (n + 1)(n + 2),2∑N n = (2l + 1) = 1 (n + 1)(n + 2),2⎪⎩l=0,1,...,nn−l paridove ci rendiamo conto del fatto che ad ogni l = 0, 1, 2, 3, . . . corrispondono2l + 1 autofunzioni linearmente indipendenti (corrispondenti ai valori di m =−l, −l + 1, . . . , l) con lo stesso livello di energia.176