ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Per trovare i stati limite richiediamo che la derivata logaritmica della S(cioè, S ′ /S) sia continua in r = r 0 . Grazie al decadimento della funzione diMacDonald, si vede subito che S ′ (r)/S(r) ha un limite negativo se r → (r 0 ) + .D’altra parte, r l+ 1 2 e la funzione di Bessel immaginaria sono crescenti per r > 0,mentre la funzione di Bessel stessa è oscillatoria. Quindi gli stati limiti possonoesistere soltanto per V 0 > κ 2 . In tal casodoveK ′ (κrl+κr 1 0 )20K l+12S(r) ∼ J l+1 (r √ V 0 − κ 2 ), (C.17)2√(κr 0 ) = r √ J ′ (r0 V0 − κ 2 l+ 1 0 V0 − κ 2 )2√J l+1 (r 0 V0 − κ 2 ) . (C.18)2Le energie λ = −κ 2 corrispondenti agli stati limite si trovano dal numero finitodi zeri della (C.18) per 0 < κ < √ V 0 ; ci sono zeri per soltanto un numero finitodi l = 0, 1, 2, . . ..Per l = 0 abbiamoK 12√ π(z) =2z e−z , J 1 (w) =2Allora (C.18) si riduce all’identitàtan( √ V 0 r 2 0 − z 2 )√V0 r 2 0 − z 2 = − 11 + z ,√ π2w sin(w).dove z = κr 0 . Gli zeri z = κr 0 ∈ (0, r 0√V0 ) si ottengono graficamente.Per l = 0 si può ottenere i risultati in modo più semplice senza utilizzarele funzioni di Bessel. Partendo dall’equazione di Schrödinger (C.10) per V (r)in (C.13), otteniamo per S(r) = rR(r){S ′′ (r) + (V 0 − κ 2 )S(r) = 0, 0 < r < r 0 ,S ′′ − κ 2 S(r) = 0, r > r 0 ,(C.19)dove ∫ ∞|S(r)| 2 dr < ∞, S(0) = 0 2 e S è di classe C 1 in r = r0 0 . Per r > r 0risulta S(r) ∼ e −κr . Quindi ci vuole (S ′ /S)(r 0 ) = −κ < 0.Se 0 ≤ V 0 < κ 2 , per 0 < r < r 0 risulta S(r) ∼ sinh(r √ κ 2 − V 0 ) [graziealla condizione S(0) = 0] per 0 < r < r 0 e quindi è impossibile avere(S ′ /S)(r 0 ) < 0. Per κ = √ V 0 risulta S(r) ∼ r [grazie alla condizione S(0) = 0]2 Una condizione tecnica mai spiegata dal punto di vista fisico per costringere ad unasuccessione finita di autovalori.172