ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove l = 0, 1, 2, . . . e j l e n l si chiamano funzioni di Bessel sferiche di prima eseconda specie. Sviluppando l’onda pianasi trova per l’ampiezzae ikθ·x =∞∑ l∑l=0 m=−lc l,mf l (kr)krY lm (θ, ϕ),f(k; θ · θ ′ ) def= A(k, θ, θ ′ ) = 1 k∞∑(2l + 1)e iδl(k) sin δ l (k)P l (θ · θ ′ ),l=0dove δ l (k) si chiamano fasi di scattering.1 La buca di potenzialeIn tal casoV (r) ={−V 0 , 0 ≤ r < r 0 ,0, r > r 0 ,(C.13)dove V 0 > 0. Sostituendo R(r) = r −1/2 S(r) otteniamo [Vedi (C.9)]d 2 Sdr + 1 [dS2 r dr + V 0 − κ 2 − (l + 1 ]2 )2S(r) = 0, 0 < r < rr 2 0 ,d 2 Sdr + 1 [dS2 r dr − κ 2 + (l + 1 ]2 )2S(r) = 0, r > rr 2 0 , (C.14)dove λ = −κ 2 per κ > 0. Ovviamente, per r > r 0 la (C.14) è l’equazioneimmaginaria di Bessel di ordine l + 1 nella variabile κr. Siccome deve tendere2a zero se r → ∞, si trovaS(r) ∼ K l+1 (κr), r > r 0 , (C.15)2dove K ν (z) è la funzione di MacDonald di ordine ν. Per ν, z > 0 la funzionedi MacDonald K ν (z) è decrescente.Per 0 < r < r 0 la situazione è più complicata. Siccome S(0 + ) esiste, risultaper 0 < r < r 0⎧⎪⎨ J l+1 (r √ V 0 − κ 2 ), V 0 > κ 2 ,2S(r) ∼ r l+ 1 2 , V 0 = κ 2 ,(C.16)⎪⎩I l+12(r √ κ 2 − V 0 ), V 0 < κ 2 ,dove J ν (z) è la funzione di Bessel di ordine ν e I ν (z) è la funzione di Besselimaginaria di ordine ν.171