ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

L’equazione (C.5) può essere risolta esattamente in tutti e tre casi.Consideriamo ora il problema di scattering dove l’energia E = k 2 è positiva.In tal caso la funzione onda ψ(k, x) non appartiene a L 2 (R 3 ) e infatti soddisfaalla condizione di Sommerfeldψ(k, x) = e ikθ·x + ψ s (x)( ) ( )= e ikθ·x + eik|x||x| A x 1k, θ, + o , |x| → +∞,|x| |x|dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampiezza e k > 0. Ovviamente il potenziale V (x) deveessere localmente sommabile (cioè, V ∈ L 1 loc(R 3 ) e tendere a zero abbastanzarapidamente se |x| → ∞. 1 Cercando la cosiddetta funzione di Green G(k; x, x ′ )tale che(∆ + k 2 )G(k; x, x ′ ) = −4πδ(x − x ′ ),cioè scegliendo [Vedi la (V.67) per n = 3]si ottiene facilmenteψ s (x) = − 14πG(k; x, x ′ ) = eik|x−x′ ||x − x ′ | ,∫G(k; x, x ′ )V (x ′ )ψ(x ′ ) dx ′ .Quindiψ(x) = e ikθ·x − 1 ∫G(k; x, x ′ )V (x ′ )ψ(x ′ ) dx ′ .4πPer calcolare ψ dal potenziale si può risolvere l’equazione precedente per iterazione.Facendo una singola iterazione si arriva alla cosiddetta approssimazionedi Bornψ(x) ≃ e ikθ·x − 14π∫G(k; x, x ′ )V (x ′ )e ikθ·x′ dx ′ .Discutiamo ora il problema di scattering per i potenziali radiali V (x) =V (r) con r = |x| (Vedi [10]). Allora per V ≡ 0 l’equazione di Schrödinger perE = k 2 con k > 0 ha la soluzione generaleψ(x) = cost. 1 f l (kr) + cost. 2 g l (kr),dove√ πρf l (ρ) =2 J l+ 1 (ρ) = ρj l (ρ),2g l (ρ) = (−1) l √ πρ2 J −(l+ 1 2 )(ρ) = −ρn l(ρ),1 I potenziali di Coulomb V (x) = cost.|x|non conducono ad una teoria di scatteringquantistica tanto semplice, poichè non decadono abbastanza rapidamente.170