ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

(d(1 − ξ 2 ) dP )]+[l(l + 1) − m2P(ξ).dξ dξ1 − ξ 2(C.7)La (C.7) si dice equazione differenziale per le funzioni di Legendre associate:P(ξ) ∼ Pl m (ξ), dove l = m, m + 1, m + 2, . . . e m = 0, 1, 2, . . ..Discutiamo ora la (C.5). Sostituendo R(r) = r α S(r) nella (C.5) [con C =l(l + 1)] per un’opportuna α (da stabilire successivamente) e dividendo da r α ,si trovad 2 Sdr2(α + 1)+2r[ ]dS α(α + 1) − l(l + 1)dr + + λ − V (r) S(r) = 0.r 2(C.8)Per far somigliare la (C.8) all’equazione di Bessel si scelga α tale che 2(α+1) =1, cioè α = −1/2:d 2 Sdr + 1 [dS2 r dr + − (l + 1 ]2 )2+ λ − V (r) S(r) = 0. (C.9)r 2Per far sparire il termine con la derivata prima dalla (C.8), ci vuole α = −1.Quindi per S(r) = rR(r) abbiamo[ ]d 2 S −l(l + 1)dr + + λ − V (r) S(r) = 0.(C.10)2 r 2Per α = 0 otteniamo dalla (C.8)d 2 Rdr + 2 []dR2 r dr + l(l + 1)− + λ − V (r) R(r) = 0,r 2(C.11)dove l = 0, 1, 2, · · · . Imporremo le seguenti due condizioni al contorno:⎧⎨R(r) ∫= O(r l ), r → 0 +∞⎩ r|R(r)| 2 (C.12)dr < +∞.I seguenti casi sono di rilevante interesse:1. La buca di potenziale, dove0V (r) ={−V 0 , 0 ≤ r < r 0 ,0, r > r 0 .2. L’oscillatore armonico, dove V (r) = (γ/2)r 2 per una costante γ > 0.3. L’atomo di idrogeno, dove V (r) = −e 2 /r per e la carica dell’elettrone.169