ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otteniamo dalla (C.5) e dalla seconda equazione (II.51)2 4P (ν, z) ∼∞∑s=0s (ν, 2s)(−1)(2z) ∼ 1 − (4ν2 − 1)(4ν 2 − 9)2s 2!(8z) 2+ (4ν2 − 1)(4ν 2 − 9)(4ν 2 − 25)(4ν 2 − 49)− · · · , (B.6a)4!(8z) 4∞∑s (ν, 2s + 1)Q(ν, z) ∼ (−1)(2z) 2s+1s=0∼ 4ν2 − 18z− (4ν2 − 1)(4ν 2 − 9)(4ν 2 − 25)3!(8z) 3 + · · · . (B.6b)Gli sviluppi asintoti per J ν (z) e Y ν (z) (per −π < arg z < π) seguono da√2J ν (z) = [P (ν, z) cos χ − Q(ν, z) sin χ] ,πz (B.7a)√2Y ν (z) = [P (ν, z) sin χ + Q(ν, z) cos χ] ,πz (B.7b)dove abbiamo utilizzato (II.49) e (II.50). Per la funzione di Bessel immaginariasegue dalla prima equazione (II.51)I ν (z) ∼√ ez ∑ ∞2πzs=0s (ν, s)(−1)(2z) , | arg z| < π s 2 . (B.8)Limitiamoci ai primi termini degli sviluppi asintoti e all’andamento asintoticose z → +∞. Allora arriviamo alle seguenti espressioni asintotiche (vedi(II.48), (II.52), (II.53), (II.54), (II.55) e (II.56)):√2J ν (z) ∼(cos(z − 1 2 νπ − 1 )4 π) + O(1 z ) , z → +∞, (B.9a)πz√2Y ν (z) ∼πz√2H ν(1) (z) ∼πz√2H ν(2) (z) ∼πz(sin(z − 1 2 νπ − 1 4 π) + O(1 z ) ), z → +∞, (B.9b)(e i(z− 1 2 νπ− 1 4 π) + O( 1 z ) ), z → +∞, (B.9c)(e −i(z− 1 2 νπ− 1 4 π) + O( 1 z ) ), z → +∞, (B.9d)I ν (z) ∼ √ 1 (e z 1 + O( 1 )2πz z ) , z → +∞, (B.9e)√ πK ν (z) ∼(12z e−z + O( 1 )z ) , z → +∞. (B.9f)166