ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Quindi φ ν (z) è una soluzione dell’equazione di Bessel immaginaria (II.57).Inoltre, siccome φ ν (z) → +∞ se z → 0 + (divergenza dell’integrale per z = 0) eφ ν (z) → 0 se z → +∞, esiste una costante positive c ν tale che φ ν (z) = c ν K ν (z),la funzione di MacDonald (vedi la (II.56)).Inoltre, abbiamo√ z e z φ ν (z) = √ ∫ ∞z e −2z sinh2 (t/2) cosh(νt) dt0∫ ∞(= exp −2z sinh 20τ2 √ z)cosh( ντ2 √ z ) dτ.Siccome f(x) = sinh(x)/x è crescente per x ≥ 0 e f(0 + ) = 1, 1 si può stimarela funzione sotto il segno dell’ultimo integrale da e −τ 2 /2 cosh(ντ/ √ z) pergiustificare l’applicazione del Teorema delle Convergenza Dominata (cioè, loscambio limite-integrale, vedi l’appendice D), risultando inlimz→+∞Di conseguenza, φ ν (z) = K ν (z):K ν (z) =∫√ ∞√ π z e z φ ν (z) = e −τ 2 /2 dτ =2 .∫ ∞00e −z cosh t cosh(νt) dt, z > 0, ν ∈ R. (B.1)Sostituendo u = e −t nella (C.1) e poi v = 1/u si ottiene per z > 0∫ 1∫ 1K ν (z) = 1 2= 1 2= 1 20∫ 10∫ ∞0e − z 2 (u+ 1 u ) u −ν du u + 1 2e − z 2 (u+ 1 u ) u −ν du u + 1 2e − z 2 (u+ 1 u ) u −ν du u = 1 20∫ ∞1∫ ∞0e − z 2 (u+ 1 u ) u ν du ue − z 2 (v+ 1 v ) −ν dvuve − z 2 (u+ 1 u ) u −ν−1 du.Utilizzando la definizione della funzione Gamma e cambiando l’ordine di integrazioneotteniamo per z > 0 e Re ν > − 1 2∫ ∞( ∫K ν (z) = e − z 2 (u+ 1 u ) 1 ∞)Γ(ν + 1) e −ux x ν− 1 du2 dx √2 u=0∫1 ∞2Γ(ν + 1) 20x ν− 1 21 Si ha f ′ (x) = cosh(x)x(x − tanh x) = cosh(x) ∫ x 2x 2 0164(∫ ∞0e −u(x+ z 2 )− z2udu√ u)dx.0( )1 − 1 dy > 0 per x > 0.cosh 2 y