ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

(b) f(x + 1) = x f(x) per ogni x > 0;(c) f(1) = 1.Allora f(x) = Γ(x) per ogni x > 0.Dimostrazione. Sia f : (0, ∞) → R una funzione a valori positivi che hale proprietà (a)-(c). Allora la proprietà (b) implica l’identitàf(x + n) = x(x + 1) . . . (x + n − 1)f(x), x > 0, n ∈ N. (A.7)Per x ∈ (0, 1] e n ≥ 2 si ottiene dalla convessità 1 della funzione flog f(n − 1) − log f(n)(n − 1) − n≤log f(x + n) − log f(n)(x + n) − n≤log f(n + 1) − log f(n).(n + 1) − nSiccome f(m) = (m−1)! per m ∈ N (vedi la (b) e la (c)), risulta per 0 < x ≤ 1log(n − 1)! − log(n − 2)! ≤oppureoppurelog f(x + n) − log(n − 1)!x≤ log n! − log(n − 1)!,x log(n − 1) ≤ log f(x + n) − log(n − 1)! ≤ log n, 0 < x ≤ 1,(n − 1) x (n − 1)! ≤ f(x + n) ≤ n x (n − 1)!Applicando la (A.7) risulta per 0 < x ≤ 1(n − 1) x (n − 1)!x(x + 1) . . . (x + n − 1) ≤ f(x) ≤ x x (n − 1)!x(x + 1) . . . (x + n)Siccome lim n→∞ [ x+n ] = 1 per x ∈ [0, 1], si hanf(x) = limn→∞Dalla (A.1) si trova facilmente∫ nΓ(z) = limn→∞0n! n xx(x + 1) . . . (x + n) .(1 − t n) nt z−1 dt,[ x + nmentre n integrazioni per parti ci danno l’identità∫ n(1 −n) t nt z−1 n! n zdt =, Re z > 0.z(z + 1) . . . (z + n)0n].(A.8)Quindi le ultime due equazioni e la (A.8) implicano che f(x) = Γ(x) per ognix > 0.✷1 La convessità della g = log f implica che il rapporto g(n+1)−g(y)n − 1 a n + 1.159(n+1)−ycresce se y cresce da