ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella striscia −2 < Re z ≤ −1, ecc. Siccome ildenominatore nell’uguaglianza Γ(z) = Γ(z + 1)/z si annulla per z = 0, risultauna funzione meromorfa con poli semplici nei punti 0, −1, −2, . . .. Il residuenel polo a z = 0 é lim z→0 zΓ(z) = lim z→0 Γ(z + 1) = Γ(1) = 1, mentre quelloa −n (n = 1, 2, . . .) è il seguente+ 1)lim (z + n)Γ(z) = lim (z + n)Γ(z = . . .z→−n z→−n z= lim (z + n) Γ(z + n)z→−n z(z + 1) . . . (z + n − 1)= limz→−nΓ(z + n + 1)z(z + 1) . . . (z + n − 1) =Ha qualche importanza la funzione beta di Eulero:Γ(1)(−1) n (n!) = (−1)n .n!B(p, q) =∫ 1t p−1 (1 − t) q−1 dt = 2∫ π/200(sin θ) 2p−1 (cos θ) 2q−1 dθ,(A.5)dove Re p > 0 e Re q > 0.È abbastanza semplice dimostrare cheB(p, q) = Γ(p)Γ(q) , Re p, Re q > 0. (A.6)Γ(p + q)Infatti, per p, q tali che min(Re p, Re q) > 0 abbiamoΓ(p)Γ(q) = 4= 4∫ ∞ ∫ ∞0 0∫ ∞ ∫ π/20∫ ∞0t 2p−1 s 2q−1 e −(t2 +s 2) dt dsρ 2(p+q−1) e −ρ2 (cos θ) 2p−1 (sin θ) 2q−1 dθ dρ= 2 ρ 2(p+q−1) e −ρ2 dρ 2 2(cos θ) 2p−1 (sin θ) 2q−1 dθ00} {{ } } {{ }Γ(p+q)= Γ(p + q)B(p, q).∫ πt=cos 2 θ, 1−t=sin 2 θ, dt=−2 cos θ sin θ dθdove al passaggio dalla prima alla seconda riga abbiamo sostituito t = ρ cos θe s = ρ sin θ.Discutiamo ora una caratterizzazione potente della funzione Gamma.Teorema A.1 (Bohr-Mollerup) Sia f : (0, ∞) → R una funzione a valoripositivi con le seguenti proprietà:(a) log f(x) è una funzione convessa;158