ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Appendice ALA FUNZIONE GAMMALa funzione Gamma è definita dall’integrale generalizzato assolutamente convergenteΓ(z) =∫ ∞0e −t t z−1 dt = 2∫ ∞0ρ 2z−1 e −ρ2 dρ, Re z > 0, (A.1)dove la convergenza assoluta segue spezzando l’intervallo di integrazione in due,in (0, 1) ed in (1, +∞). Infatti |e −t t z−1 | ≤ t Re z−1 per t ∈ (0, 1) e t α |e −t t z−1 | →0 se t → +∞ per ogni α > 1. La funzione Γ è analitica nel semipiano destroRe z > 0.Dopo un’integrazione per parti si ottiene facilmenteΓ(z + 1) = zΓ(z), Re z > 0. (A.2)Si ha Γ(1) = ∫ ∞0e −t dt = 1. Utilizzando la (A.2) risultaΓ(n + 1) = n!, n = 0, 1, 2, · · · . (A.3)Un altro valore particolare della funzione Gamma è quello per z = 1/2. Si haΓ( 1 2 ) = ∫ ∞0∫ ∞t −1/2 e −t dt = 2 e −u2 du = √ π.0Utilizzando la (A.2) si ottieneΓ(n + 1 1 · 3 · · · (2n − 1) √) = π, n = 0, 1, 2, · · · . (A.4)2 2 nL’identità (A.2) può essere utilizzata per definire la funzione Gamma altrove.Prima si definisca la funzione Gamma nella striscia −1 < Re z ≤ 0157