ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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L’equazione delle onde (V.97) con un’opportuna condizione al contorno ele condizioni iniziali (V.99) ha la soluzione unica∫∫∂Gu(x, t) =∂t (x, ˆx; t)u 0(ˆx) dˆx + G(x, ˆx; t)u 1 (ˆx) dˆx, (VI.112)Ωdove la funzione di Green è molto singolare. Ciò si spiega dal principio diHuygens: Le singolarità presenti nella soluzione per t = 0 si propagano in tuttele direzioni con velocità c quindi si manifestano nella soluzione al momentot > 0. Per esempio, generalizzando la risoluzione del sistema (V.108) perx ∈ R n si applichi la trasformazione di Fourier n-dimensionale per trovare lastessa forma della soluzione. Questa volta la funzione di Green ha l’espressioneΩG(x − y; t) = 1 ∫e −i(x−y)·ξ sin(ct‖ξ‖ 2)dξ, (VI.113a)(2π) n R c‖ξ‖∫n 2∂G1(x − y; t) = e −i(x−y)·ξ cos(ct‖ξ‖∂t (2π) n 2 ) dξ. (VI.113b)R n156
Appendice ALA FUNZIONE GAMMALa funzione Gamma è definita dall’integrale generalizzato assolutamente convergenteΓ(z) =∫ ∞0e −t t z−1 dt = 2∫ ∞0ρ 2z−1 e −ρ2 dρ, Re z > 0, (A.1)dove la convergenza assoluta segue spezzando l’intervallo di integrazione in due,in (0, 1) ed in (1, +∞). Infatti |e −t t z−1 | ≤ t Re z−1 per t ∈ (0, 1) e t α |e −t t z−1 | →0 se t → +∞ per ogni α > 1. La funzione Γ è analitica nel semipiano destroRe z > 0.Dopo un’integrazione per parti si ottiene facilmenteΓ(z + 1) = zΓ(z), Re z > 0. (A.2)Si ha Γ(1) = ∫ ∞0e −t dt = 1. Utilizzando la (A.2) risultaΓ(n + 1) = n!, n = 0, 1, 2, · · · . (A.3)Un altro valore particolare della funzione Gamma è quello per z = 1/2. Si haΓ( 1 2 ) = ∫ ∞0∫ ∞t −1/2 e −t dt = 2 e −u2 du = √ π.0Utilizzando la (A.2) si ottieneΓ(n + 1 1 · 3 · · · (2n − 1) √) = π, n = 0, 1, 2, · · · . (A.4)2 2 nL’identità (A.2) può essere utilizzata per definire la funzione Gamma altrove.Prima si definisca la funzione Gamma nella striscia −1 < Re z ≤ 0157
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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Page 118 and 119: segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
Page 120 and 121: Le condizioni al contorno (IV.2) si
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Page 136 and 137: Sostituendo le condizioni al contor
Page 138 and 139: Risolvendo la (V.34) sotto la condi
Page 140 and 141: Utilizzando il linguaggio dell’el
Page 142 and 143: L’equazione (V.48) è un’equazi
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Page 156 and 157: dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Page 160 and 161: dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
Page 164 and 165: da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Page 172 and 173: dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
Page 174 and 175: dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
Page 176 and 177: L’equazione (C.5) può essere ris
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Page 192 and 193: La trasformazione inversa di Fourie
Page 194 and 195: 3.1 Proprietà della trasformazione
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Page 202 and 203: Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Page 208 and 209: e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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