ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l’autofunzione normalizzata corrispondente all’autovalorezero. Per n ≥ 1 si trovano le espressioni (V.102) e (V.104b),mentre∫Ωc 0 =u ∫0(x) dx√ , d 0 =u Ω 1(x) dx√ .m(Ω) m(Ω)Nel caso in cui Ω = (0, L), abbiamo per le condizioni di Dirichletλ n = nπ √2( nπx)L , ψ n(x) =L sin , (VI.106)Ldove n = 1, 2, 3, . . ., e per le condizioni di Neumannλ n = nπ √2( nπx)L , ψ n(x) =L cos , (VI.107)Ldove n = 1, 2, 3, . . ., mentre λ 0 = 0 e ψ 0 (x) = 1/ √ L.Nel caso delle condizioni di Dirichlet, utilizzando le espressioni( nπx) ( ) nπct( nπ) ( nπ)2 sin cos = sinL LL (x − ct) + sinL (x + ct) ,( nπx) ( ) nπct( nπ) ( nπ)2 sin sin = cosL LL (x − ct) − cosL (x + ct) ,e sostituendo la (V.106) nella (V.102), otteniamou(x, t) = 1 √2∞∑ ( nπ) ( nπ)]c n[sin2 LL (x − ct) + sinL (x + ct) n=1+ 1 √2∞∑ ( nπ) ( nπ)]d n[cos2 LL (x − ct) − cosL (x + ct) n=1= 1 ∞∑c n [ψ n (x − ct) + ψ n (x + ct)] + 1 ∞∑d n c nπ 22c Ln=1???= 1 2 [u 0(x − ct) + u 0 (x + ct)] + 1 2c∫ x+ctx−ctn=1∫ x+ctx−ctψ n (˜x) d˜xu 1 (˜x) d˜x [SBAGLIATO],dove abbiamo utilizzato gli sviluppi di Fourier (V.103) e esteso le autofunzionicome fossero definite fuori dell’intervallo (0, L).Per c > 0 consideriamo l’equazione delle onde∂ 2 u∂t (x, t) = ∂2 u2 c2 (x, t) + f(x, t),∂x (VI.108a)2u(x, 0) = u 0 (x),∂u∂t (x, 0) = u 1(x),154(VI.108b)(VI.108c)
dove x ∈ R e t > 0. Applicando la trasformata di Fourier arriviamo al sistemadi equazioni∂ 2 û∂t (ξ, t) = 2 −c2 ξ 2 û(ξ, t) + ˆf(ξ, t),û(ξ, 0) = û 0 (ξ),∂û∂t (ξ, 0) = û 1(ξ),con la soluzione unicaû(ξ, t) = cos(cξt)û 0 (ξ)+ sin(cξt) û 1 (ξ)+cξPer ξ = 0 si calcola il limite:Quindidoveû(0, t) = û 0 (0) + tû 1 (0) +∫ t0∫ tu(x, t) = 1 ∫ ∞e −ixξ û(ξ, t) dξ = 1 ∫ ∞2π −∞2π −∞+ sin(cξt) ∫ tsin(cξ(t − τ))û 1 (ξ) +cξ0 cξ∫ ∞[ ∂G=−∞∫ t]+ G(x − y; t − τ)f(y, τ) dτ dy,00sin(cξ(t − τ))cξ(VI.109a)(VI.109b)(VI.109c)ˆf(ξ, τ) dτ. (VI.110)(t − τ) ˆf(0, τ) dτ. (VI.111)e −ixξ [cos(cξt)û 0 (ξ)]ˆf(ξ, τ) dτ dξ∂t (x − y; t)u 0(y) + G(x − y; t)u 1 (y)G(x − y; t) = 1 ∫ ∞−i(x−y)ξ sin(cξt)e dξ2π −∞ cξ∂G1(x − y; t) =∂t 2π= 1 [H(y − x + ct) + H(y − x − ct)] ,2c∫ ∞−∞e −i(x−y)ξ cos(cξt) dξ= 1 [δ(y − x + ct) − δ(y − x − ct)] .2In particolare, abbiamo trovato la cosiddetta soluzione di D’Alembertu(x, t) = 1 2 [u 0(x − ct) + u 0 (x + ct)]+ 1 2c∫ x+ctx−ctu 1 (y) dy + 1 2c155∫ t ∫ x+ct−cτ0x−ct+cτf(y, τ) dy dτ.
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Page 118 and 119: segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Page 172 and 173: dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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