ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l’autofunzione normalizzata corrispondente all’autovalorezero. Per n ≥ 1 si trovano le espressioni (V.102) e (V.104b),mentre∫Ωc 0 =u ∫0(x) dx√ , d 0 =u Ω 1(x) dx√ .m(Ω) m(Ω)Nel caso in cui Ω = (0, L), abbiamo per le condizioni di Dirichletλ n = nπ √2( nπx)L , ψ n(x) =L sin , (VI.106)Ldove n = 1, 2, 3, . . ., e per le condizioni di Neumannλ n = nπ √2( nπx)L , ψ n(x) =L cos , (VI.107)Ldove n = 1, 2, 3, . . ., mentre λ 0 = 0 e ψ 0 (x) = 1/ √ L.Nel caso delle condizioni di Dirichlet, utilizzando le espressioni( nπx) ( ) nπct( nπ) ( nπ)2 sin cos = sinL LL (x − ct) + sinL (x + ct) ,( nπx) ( ) nπct( nπ) ( nπ)2 sin sin = cosL LL (x − ct) − cosL (x + ct) ,e sostituendo la (V.106) nella (V.102), otteniamou(x, t) = 1 √2∞∑ ( nπ) ( nπ)]c n[sin2 LL (x − ct) + sinL (x + ct) n=1+ 1 √2∞∑ ( nπ) ( nπ)]d n[cos2 LL (x − ct) − cosL (x + ct) n=1= 1 ∞∑c n [ψ n (x − ct) + ψ n (x + ct)] + 1 ∞∑d n c nπ 22c Ln=1???= 1 2 [u 0(x − ct) + u 0 (x + ct)] + 1 2c∫ x+ctx−ctn=1∫ x+ctx−ctψ n (˜x) d˜xu 1 (˜x) d˜x [SBAGLIATO],dove abbiamo utilizzato gli sviluppi di Fourier (V.103) e esteso le autofunzionicome fossero definite fuori dell’intervallo (0, L).Per c > 0 consideriamo l’equazione delle onde∂ 2 u∂t (x, t) = ∂2 u2 c2 (x, t) + f(x, t),∂x (VI.108a)2u(x, 0) = u 0 (x),∂u∂t (x, 0) = u 1(x),154(VI.108b)(VI.108c)