ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

. Condizioni di Neumann. Per trovare una soluzione non banale delproblema al contorno supponiamo che k ≥ 0. Utilizzando la condizione u ′ (0) =0 si ottieneu(x) ∼ cos(kx).L’altra condizione u(L) = 0 conduce alla condizionecos(kL) = 0 ⇔ kL = nπ, n = 0, 1, 2, 3, . . . .Quindi gli autovalori λ n = kn 2 = (nπ/L) 2 e le autofunzioni ϕ n (x) ∼ cos(nπx/L)per n = 0, 1, 2, 3, . . .. Ortonormalizzando le autofunzioni in L 2 (0, L) otteniamo⎧⎪⎨ λ 0 = 0, ϕ 0 (x) = √ 1 ,L( nπ)√2 2( nπx)(I.19)⎪⎩ λ n = , ϕn (x) =LL cos ,Ldove n = 0, 1, 2, 3, . . ..L 2 (0, L).Le autofunzioni formano una base ortonormale dic. Condizione di Dirichlet in x = 0 e di Neumann in x = L. Per trovareuna soluzione non banale del problema al contorno supponiamo che k > 0.Utilizzando la condizione u(0) = 0 si ottieneu(x) ∼ sin(kx).L’altra condizione u ′ (L) = 0 conduce alla condizione(cos(kL) = 0 ⇔ kL = n − 1 )π, n = 1, 2, 3, . . . .2Quindi gli autovalori λ n = kn 2 = ((n − 1 2 )π/L)2 e le autofunzioni ϕ n (x) ∼sin((n − 1 )πx/L) per n = 1, 2, 3, . . .. Ortonormalizzando le autofunzioni in2L 2 (0, L) otteniamo(( ) 2 √ (( )n −1λ n =2)π2 n −1, ϕ n (x) =2)πxLL sin , (I.20)Ldove n = 1, 2, 3, . . .. Le autofunzioni formano una base ortonormale di L 2 (0, L).d. Condizione di Neumann in x = 0 e di Dirichlet in x = L. Pertrovare una soluzione non banale del problema al contorno supponiamo chek > 0. Utilizzando la condizione u ′ (0) = 0 si ottieneu(x) ∼ cos(kx).10