ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Supponiamo che l’equazione di Helmholtz∆ψ + λ 2 ψ = 0su Ω con la condizione di Dirichlet abbia un infinito numerabile di autovaloripositivi λ 2 n (dove λ n ≤ λ n+1 ) con autofunzioni corrispondenti ϕ n che formanouna base ortonormale di L 2 (Ω). In tal caso la costante nella (V.101a) vale−λ 2 n, e quindiT (t) = c n cos(cλ n t) + d n sin(cλ n t).La soluzione generale della equazione delle onde (V.103b) con la condizione diDirichlet (V.98) ha la formau(x, t) =∞∑(c n cos(cλ n t) + d n sin(cλ n t)) ψ n (x). (VI.102)n=1Quindi dalle (V.99) otteniamo∞∑u 0 (x) = c n ψ n (x),u 1 (x) =n=1∞∑d n cλ n ψ n (x).n=1(VI.103a)(VI.103b)Dall’ortonormalità delle autofunzioni ψ n in L 2 (Ω) seguono i coefficienti c n ed n :∫c n = 〈u 0 , ψ n 〉 L2 (Ω) = u 0 (x)ψ n (x) dx, (VI.104a)d n = 〈u 1, ψ n 〉= 1 u 1 (x)ψ n (x) dx.cλ n cλ n∫ΩΩ(VI.104b)Lo stesso discorso vale se al posto della condizione di Dirichlet (V.98) siconsidera la condizione di Neumann. L’unica differenza è che ora zero è autovalore(con l’autofunzione costante) dell’equazione di Helmholtz su Ω con lacondizione di Neumann. Al posto della (V.102) si consideri orau(x, t) =+1√mis(Ω)(c 0 + d 0 t)∞∑(c n cos(cλ n t) + d n sin(cλ n t)) ψ n (x), (VI.105)n=1153