ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R − è l’estensione di u ad una funzione dispari.Si vede subito che√ ∫ 2 ∞u(x) = (F s u)(ξ) sin(xξ) dξ. (VI.86)πApplicando la trasformata di Fourier seno F s alla (V.82) risulta⎧⎨∂F s u(ξ, t) = −ξ 2 (F s u)(ξ, t) + (F s f)(ξ, t), ξ ∈ R + , t > 0,∂t⎩(F s u)(ξ, 0) = (F s u 0 )(ξ),e ha la soluzione unica (V.83). Dunque√ ∫ 2 ∞u(x, t) = sin(xξ)(F s u)(ξ, t)π 0√ ∫ 2 ∞[= sin(xξ) e −ξ2t (F s u 0 )(ξ) +π=∫ ∞00G s (x, y; t)u 0 (y) dy +0∫ t ∫ ∞00∫ t0(VI.87)]e −ξ2 (t−τ) (F s f)(ξ, τ) dτ dξG s (x, y; t − τ)f(y, τ) dy dτ,dove 14G s (x, y; t) = 2 π∫ ∞0∫ ∞sin(xξ) sin(yξ)e −ξ2t dξ= 1 e −ξ2t {− cos((x + y)ξ) + cos((x − y)ξ)} dξπ 0= √ 1][−e −(x+y)2 /4t + e −(x−y)2 /4t. (VI.88)4πtConsideriamo ora il problema a valori iniziali e al contorno⎧∂u⎪⎨ ∂t (x, t) = ∂2 u∂x + f(x, t), x ∈ 2 R+ , t > 0,∂u⎪⎩∂x (0, t) = 0, x ∈ R+ ,u(x, 0) = u 0 (x).(VI.89)Per risolvere la (V.89) introduciamo la trasformata di Fourier coseno(F c u)(ξ) =√2π∫ ∞0u(x) cos(xξ) dx = 1 √2π û(ξ),(VI.90)14 Si utilizza 1 π∫ ∞0e −z2t cos(zt) dz = 1 √4πte −z2 /4t . Vedi [1], Eq. 7.4.6.150