ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

4.2 Esempi su domini illimitatiEsempio VI.4 Consideriamo il problema a valori iniziali⎧⎨∂u∂t (x, t) = ∂2 u+ f(x, t), x ∈ R, t > 0,∂x2 ⎩u(x, 0) = u 0 (x).(VI.81)Applicando la trasformata di Fourier unidimensionale u ↦→ Fû otteniamo⎧⎨∂û∂t (ξ, t) = −ξ2 û(ξ, t) + ˆf(ξ, t), ξ ∈ R, t > 0,(VI.82)⎩û(ξ, 0) = û 0 (ξ).La soluzione del problema (V.82) è elementare:Quindiû(ξ, t) = e −ξ2tû 0 (ξ) +∫ t0e −ξ2 (t−τ) ˆf(ξ, τ) dτ.(VI.83)doveu(x, t) = 12π= 12π=G(x, t) = 12π∫ ∞−∞∫ ∞−∞∫ ∞−∞∫ ∞e ixξ û(ξ, t) dξe ixξ [e −ξ2tû 0 (ξ) +G(x − y; t)u 0 (y) dy +−∞∫ t]e −ξ2 (t−τ) ˆf(ξ, τ) dτ dξ0∫ t ∫ ∞0−∞e ixξ e −ξ2t dξ = 1 ∫ ∞/4t2π e−x2−∞G(x − y; t − τ)f(y, τ) du dτ,ix−(ξ−e 2t) 2t dξ = √ 1 e −x2 /4t . 4πtEsempio VI.5 Consideriamo ora il problema a valori iniziali e al contorno⎧∂u⎪⎨∂t (x, t) = ∂2 u∂x + f(x, t), x ∈ 2 R+ , t > 0,u(0, t) = 0, x ∈ R⎪⎩+ ,(VI.84)u(x, 0) = u 0 (x).Per risolvere la (V.84) introduciamo la trasformata di Fourier seno(F s u)(ξ) =√2π∫ ∞0u(x) sin(xξ) dx =−i √2π û(ξ),(VI.85)149