ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

e applicando la solita separazione delle variabili arriviamo, per λ > 0, all’equazionedifferenzialed 2 Rd(r √ λ) + 1( )2 r √ dRλ d(r √ λ) + 1 − m2(r √ R(r) = 0,λ) 2dove m = 0, 1, 2, . . . e R(r) è limitato se r → 0 + . Allora R(r) ∼ J m (r √ λ),mentre R(L) = 0. Quindi gli autovalori sono λ mn = (ν mn /L) 2 [essendo ν mn lozero positivo n-esimo della J m (x)], dove m = 0, 1, 2, . . . e n = 1, 2, 3, . . .. Leautofunzioni normalizzate in L 2 (Ω) ≃ L 2 ([0, L] × [0, 2π]; rdr dθ) sono⎧1( ν0n r)ϕ 0n (r, θ) =, n = 1, 2, 3, . . .L √ π|J⎪⎨0(ν ′ 0n )| J 0√ L2 cos mθ(ϕ c mn(r, θ) =L √ π|J m(ν ′ mn )| J νmn rm√ L2 sin mθ(⎪⎩ ϕ s mn(r, θ) =L √ π|J m(ν ′ mn )| J νmn rmLLe costanti di normalizzazione seguono dall’identità∫ L ∫ 2π ( νmn r)rJ m cos mθ dθdr = (1 + δ m0 )πL00), m = 1, 2, 3, . . . , n = 1, 2, . . .), m = 1, 2, 3, . . . , n = 1, 2, . . . .∫ L= (1 + δ m0 ) L22 J m(ν ′ mn ) 2 ,e ugualmente con sin mθ al posto di cos mθ se m ≥ 1.Risultadoveu(r, θ, t) =+∫ ∞ ∫ 2π0 0∫ t ∫ ∞ ∫ 2πG(r, ˆr, θ − ˆθ; t) =+ 2m=100rG(r, ˆr, θ − ˆθ; t)u 0 (r, θ) dθ dr00( νmn r)rJ m drLˆrG(r, ˆr, θ − ˆθ; t − s)f(ˆr, ˆθ, s) dˆθ dˆr ds,⎡ ( ν0n r) ( ) ν0nˆr∞∑J 0 J 0⎢L L⎣ e−ν2 0n t/L2 πL 2 J 0(ν ′ 0n ) 2n=1( νmn r) ( )⎤νmnˆr∞∑ J m J m cos[m(θ −L Lˆθ)]e −ν2 mnt/L 2 ⎥πL 2 J m(ν ′ mn ) 2⎦ ,in cui abbiamo utilizzato la formulacos(m[θ − ˆθ]) = cos mθ cos mˆθ − sin mθ sin mˆθ.148