ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (π 2 t/a 2) sinan=1⎡= 1 ∞∑⎣1 + 2an=1( nπx)sina( nπy)a( − cos nπ(x+y)e −n2 (π 2 t/a 2 )a= −ϑ 3(π x+y , t/a 2ae−π2 ) + ϑ 3 (π x−y , t/a 2a e−π2 ),2a)+ cos2(nπ(x−y)a) ⎤in cui ϑ 3 (z, q) = 1 + 2 ∑ ∞n=1 qn2 cos(2nz) è una delle funzioni Theta di Jacobi([21], 21.11). 12Consideriamo Lu = −u ′′ nell’intervallo (0, a) con le condizioni di Neumannu ′ (0) = u ′ (a) = 0. In tal caso λ n = (nπ/a) 2 e ϕ n (x) =dove n = 0, 1, 2, 3, . . .. Allorau(x, t) =∫ a0G(x, y; t)u 0 (y) dy +∫ t ∫ a00√2−δ n0aG(x, y; t − s)f(y, s) dy ds,⎦cos(nπx/a),dove[G(x, y; t) = 1 ∞∑(1 + 2 e −n2 (π 2 t/a 2) nπx) ( nπy) ]cos cosaa an=1⎡( )= 1 ∞∑⎣1 cos nπ(x+y)+ cos+ 2 e −n2 (π 2 t/a 2 )aa2n=1= ϑ 3(π x+y , t/a 2ae−π2 ) + ϑ 3 (π x−y , t/a 2a e−π2 ).2a(nπ(x−y)a) ⎤⎦Consideriamo ora Lu = −u ′′ nell’intervallo (0, a) con la condizione di Dirichletall’estremo sinistro e quella di Neumann all’estremo√destro: u(0) =u ′ (a) = 0. In tal caso λ n = ((n + 1 2 )π/a)2 2e ϕ n (x) = sin((n + 1)πx/a),a 2dove n = 0, 1, 2, 3, . . .. Allorau(x, t) =∫ a0G(x, y; t)u 0 (y) dy +∫ t ∫ a00G(x, y; t − s)f(y, s) dy ds,12 Si ha ϑ 3 (z, q) = G ∏ ∞n=1 (1 + 2q2n−1 cos(2z) + q 4n−2 ), dove G = ∏ ∞n=1 (1 − q2n ).146
doveG(x, y; t) = 2 ∞∑( ) ( )e −(2n+1)2 (π 2 t/4a 2) (2n + 1)πx (2n + 1)πysinsina2a2an=0= 1 ∞∑{ ( )e −(2n+1)2 (π 2 t/4a 2 ) (2n + 1)π(x + y)− cosa2an=0( )}(2n + 1)π(x − y)+ cos2a= −ϑ 2(π x+y , t/a 2 ) + ϑae−π2 2 (π x−y , t/a 2 )a e−π2 ,2ain cui ϑ 2 (z, q) = 2 ∑ ∞n=0 /4 q(2n+1)2 cos((2n + 1)z) è una delle funzioni Theta diJacobi ([21], 21.11). 13Consideriamo infine Lu = −u ′′ nell’intervallo (0, a) con condizioni periodiche.In tal caso ci sono un autovalore semplice λ 0 = 0 con autofunzionecorrispondente ϕ 0 (x) =√1e gli autovalori doppi λ a n = (2nπ/a) 2 con auto-√√2cos(2nπx/a) e a ϕs 2n(x) = sin(2nπx/a),afunzioni corrispondenti ϕ c n(x) =dove n = 1, 2, 3, . . .. Alloradoveu(x, t) =∫ a0G(x, y; t)u 0 (y) dy +[G(x, y; t) = 1 ∞∑1 + 2 ean=1( ) 2nπx+ sin sina[= 1 ∞∑1 + 2 ean=1= 1 ( π(x − y)a ϑ 3a2nπ−( a∫ t ∫ a00G(x, y; t − s)f(y, s) dy ds,{ ( ) ( ))2 t 2nπx 2nπycos cosaa( )}] 2nπya2nπ−( a )2t cos), e −( 2π a )2 t.( ) ]2nπ(x − y)Esempio VI.3 Adesso discutiamo il caso Ω = {(x, y) ∈ R 2 : √ x 2 + y 2 < L}e L = −∆ con la condizione di Dirichlet al bordo. In tal caso gli autovaloriλ > 0. Infatti,1r∂∂r(r ∂u )+ 1 ∂ 2 u∂r r 2∂θ + ∂2 u= −λu(r, θ),2 ∂z (VI.80)2a13 Si ha ϑ 2 (z, q) = 2Gq 1/4 cos(z) ∏ ∞n=1 (1 + 2q2n cos(2z) + q 4n ), dove G = ∏ ∞n=1 (1 − q2n ).147
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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5.4 Operatori autoaggiunti non limi
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Capitolo IIIEQUAZIONI DIFFERENZIALI
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Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈
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Spieghiamo ora il Metodo di Frobeni
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poichè in alcuni casi si trovano d
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per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Page 118 and 119: segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Page 122 and 123: implica l’impossibilità di conve
Page 124 and 125: Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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Page 138 and 139: Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Page 162 and 163: L’equazione delle onde (V.97) con
Page 164 and 165: da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Page 194 and 195: 3.1 Proprietà della trasformazione
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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