ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Quindiu(x, t) =∞∑n=1∫=Ω[∫ te −λnt (u 0 , ϕ n ) +G(x, y; t)u 0 (y) dy +0∫ t]e −λn(t−s) (f(s), ϕ n ) ds ϕ n (x)0∫ΩG(x, y; t − s)f(s, y) dy ds,(VI.78)dove la funzione di Green∞∑G(x, y; t) = e −λnt ϕ n (x)ϕ n (y).n=1(VI.79)Secondo l’identità di Parseval abbiamo∞∑G(x, y; 0) = ϕ n (x)ϕ n (y) = δ(x − y).n=14.1 Esempi su intervalli limitatiEsempio VI.2 Poniamo Ω = (0, a) e Lu = −u ′′ con condizioni di Dirichlet,cioè il problema al contorno∂u∂t = u−∂2 + f(x, t), 0 < x < a, t > 0;∂x2 u(0, t) = u(a, t) = 0,u(x, 0) = u 0 (x).In tal caso gli autovalori sono λ n = (nπ/a) 2 e le corrispondenti autofunzioniortonormalizzate in L 2 (0, 1) sono ϕ n (x) =Quindi la soluzione ha la formau(x, t) = 2 a+=∞∑n=1∫ t ∫ a0∫ 100[e −n2 π 2 t/a 2 sine −n2 π 2 (t−s)/a 2 f(y, s) sinG(x, y; t)u 0 (y) dy +√2a( nπx) ∫ au 0 (y) dy sina 0∫ t ∫ 101450( nπxanπxsin( ), dove n = 1, 2, . . ..a)sin( nπy)( nπyaa)]dy dsG(x, y; t − s)f(y, s) dy ds,