ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

4 Equazioni parabolicheL’equazione del calore∂u∂t = a2 ∆u + f,dove x ∈ Ω ⊂ R 3 , a > 0 e t > 0, ha una delle seguenti condizioni iniziali:a. La condizione iniziale u(x, t = 0) = u 0 (x) per x ∈ Ω;b. La condizione al contorno u| S = u S [specificando la temperatura al bordo],oppure (∂u/∂n)| S = −(u 1 /k) [specificando il flusso di calore attraversail bordo], oppure k(∂u/∂n) + h(u − u amb )| S = 0 [dove u amb è latemperatura dell’ambiente e h il coefficiente di scambio di calore]. Inquest’equazione Ω è una regione con bordo S regolare a tratti.L’equazione del calore si può generalizzare comecon condizione inizialedudt= −Lu(t) + f(t), t > 0, (VI.76)u(t = 0) = u 0 ,(VI.77)dove L è un operatore di Sturm-Liouville autoaggiunto sullo spazio di HilbertL 2 (Ω), u 0 è un vettore in L 2 (Ω) [modellizzando la temperatura iniziale], f(t) èun vettore in L 2 (Ω) continuo nel tempo t ≥ 0 [modelizzando i sorgenti di caloreal momento t], e u(t) è un vettore di L 2 (Ω) [modellizzando la temperatura almomento t]. Supponiamo che L abbia un numero infinito di autovalori λ n ,tutti non negativi, con base ortonormale di corrispondenti autofunzioni ϕ n :Lϕ n = λ n ϕ n , dove n = 1, 2, . . .. In tal caso ogni u ∈ L 2 (Ω) soddisfa l’identitàdi Parseval∞∑‖u‖ 2 L 2 (Ω) = |(u, ϕ n )| 2 .n=1Da questa impostazione segue subitocon condizione inizialeddt (u(t), ϕ n) = −λ n (u(t), ϕ n ) + (f(t), ϕ n )(u(t = 0), ϕ n ) = (u 0 , ϕ n ),dove n = 1, 2, . . . e il prodotto scalare è quello complesso di L 2 (Ω). Utilizzandola formula della variazione dei parametri si trova immediatamente(u(t), ϕ n ) = e −λnt (u 0 , ϕ n ) +144∫ t0e −λn(t−s) (f(s), ϕ n ) ds.