ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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C = l(l + 1), dove l = m, m + 1, m + 2, · · · . Nel caso particolare m = 0 siottiene l’equazione differenziale di Legendre(d(1 − ξ 2 ) dX )+ l(l + 1)X(ξ) = 0,dξ dξdove l = 0, 1, 2, · · · .Ritorniamo all’equazione per R(r) con C = l(l + 1):d 2 Rdr 2+ 2 rdRdr + k2 R(r) =dove m = −l, −l + 1, · · · , l − 2, l − 1, l.()l(l + 1)V (r) + R(r),r 24. Separazione in Coordinate Parabolico-Cilindriche. L’equazione diLaplace in coordinate parabolico-cilindriche (u, v, z) (anche dette coordinateparaboliche) ha la forma (I.5). Sostituendoψ(u, v, z) = U(u)V (v)Z(z)otteniamo(1 U ′′ (u)c 2 (u 2 + v 2 ) U(u) + V )′′ (v)+ Z′′ (z)V (v) Z(z) = 0.Se richiediamo che Z(z) sia limitata, risulta(1 U ′′ (u)c 2 (u 2 + v 2 ) U(u) + V )′′ (v)= − Z′′ (z)V (v) Z(z) = λ2 ,dove λ ≥ 0 è una costante. DunqueU ′′ (u) + (µ − λ 2 c 2 u 2 )U(u) = 0,V ′′ (v) − (µ + λ 2 c 2 v 2 )V (v) = 0,dove µ è un’altra costante. Introducendo le variabili ξ = u √ cλ e η = v √ cλ,dove ξ ∈ R e η ≥ 0, e ponendo µ = (2ν + 1)cλ otteniamoStudiamo ora l’equazioneU ′′ (ξ) + (2ν + 1 − ξ 2 )U(ξ) = 0,V ′′ (η) − (2ν + 1 + η 2 )V (η) = 0.u ′′ + (2ν + 1 − z 2 )u = 0,dove u, z e ν non hanno più lo stesso significato come prima. Sostituendorisulta l’equazioneu = e −z2 /2 v,v ′′ − 2zv ′ + 2νv = 0.Per ν = 0, 1, 2, . . . la (I.9) si dice equazione differenziale di Hermite.soluzioni della (I.7) si dicono funzioni parabolico-cilindriche.8(I.7)(I.8)(I.9)Le
3 Equazione di HelmholtzIn questa parte vengono calcolati gli autovalori e le corrispondenti autofunzioninormalizzate dell’equazione di Helmholtz in dominio abbastanza semplici.3.1 Equazione di Helmholtz nell’IntervalloConsideriamo l’equazione di Helmholtzcon una delle seguenti condizioni al contorno:u ′′ + k 2 u = 0, 0 < x < L, (I.10)u(0) = u(L) = 0, Dirichlet (I.11)u ′ (0) = u ′ (L) = 0, Neumann (I.12)u(0) = u ′ (L) = 0, Dirichlet a sinistra, Neumann a destra (I.13)u ′ (0) = u(L) = 0, Neumann a sinistra, Dirichlet a destra (I.14)u(0) = u(L), u ′ (0) = u ′ (L), condizioni periodiche (I.15)u(0) = 0, (cos α)u(L) + (sin α)u ′ (L) = 0,(cos β)u(0) − (sin β)u ′ (0) = 0, (cos α)u(L) + (sin α)u ′ (L) = 0,(I.16)(I.17)dove 0 ≤ α ≤ (π/2) e 0 ≤ β ≤ (π/2). Le condizioni (I.16) e (I.17) si chiamanomiste. In tutti i casi determineremo gli autovalori e le autofunzioni del problemaal contorno. In tutti i casi gli autovalori k 2 sono positivi, tranne nel casodelle condizioni di Neumann (I.12), dove si annulla uno degli autovalori.a. Condizioni di Dirichlet. Per trovare una soluzione non banale del problemaal contorno supponiamo che k > 0. Utilizzando la condizione u(0) = 0si ottieneu(x) ∼ sin(kx).L’altra condizione u(L) = 0 conduce alla condizionesin(kL) = 0 ⇔ kL = nπ, n = 1, 2, 3, . . . .Quindi gli autovalori λ n = kn 2 = (nπ/L) 2 e le autofunzioni ϕ n (x) ∼ sin(nπx/L)per n = 1, 2, 3, . . .. Ortonormalizzando le autofunzioni in L 2 (0, L) otteniamo( nπ)√2 2( nπx)λ n = , ϕn (x) =LL sin , (I.18)Ldove n = 1, 2, 3, . . .. Le autofunzioni formano una base ortonormale di L 2 (0, L).9
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Page 11 and 12: dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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