ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Sosituendo la (V.70) nella (V.69) e utilizzando L B Ylm(1 dr 2 du )l,m+r 2 dr dr= l(l + 1)Y ml()k 2 l(l + 1)− ur 2 l,m (r) = 0.Ponendo u l,m (r) = r −1/2 v l,m (r) si arriva all’equazione di Bessel(1 dr dv )l,m+(k 2 − (l + 1 )2 )2vr dr drr 2 l,m (r) = 0.otteniamo(VI.71)La limitatezza della soluzione per r → +∞ (per Im k ≥ 0) implica che v l,m (r) ∼(kr). Di conseguenzaH (1)l+ 1 2u(r, θ, ϕ) =∞∑l∑l=0 m=−la l,m r −1/2 H (1) (kr)Yl+ 1 l m (θ, ϕ). (VI.72)2Nel caso n-dimensionale (n ≥ 2) abbiamo invece della (V.69)∆u + k 2 u = 1 ( )n−1 ∂ur − 1r n−1 ∂r r L Bu + k 2 u = 0,n−1(VI.73)dove Im k ≥ 0, r = ‖x‖ 2 > r 0 (> 0) e L B è l’operatore di Beltrami n-dimensionale. Sviluppando la soluzione della (V.73) in funzioni sferiche (conL B y l = l(l + n − 2)y l , dove l = 0, 1, 2, . . . è il grado del polinomio armonicoomogeneo in n variabile che determina y l ), otteniamo invece della (V.71)1r n−1 ddr(r n−1 du l,mdr)+()k 2 l(l + n − 2)− ur n−1 l,m (r) = 0,(VI.74)dove m parametrizza gli altri indici della funzione sferica. Ponendo u l,m (r) =r −(n−2)/2 v l,m (r) arriviamo all’equazione di Bessel(1 dr dv )l,m+(k 2 − [l + 1 )(n − 2)]22vr dr drr 2 l,m (r) = 0.DunqueDi conseguenza,u(r, ω) =u l,m (r) ∼ r −(n−2)/2 H l+12 (n−2)(kr).∞∑ ∑l=0ma l,m r −(n−2)/2 H (1)l+ 1 2 (n−2)(kr)ym l (ω), (VI.75)dove ω ∈ S n−1 . Per n = 2 le funzioni sferiche coincidono con quelle trigonometriche;in questo caso risultau(r, θ) = a ∞∑ ()02 H(1) 0 (kr) + a l H (1)l(kr) cos(lθ) + b l H (1)l(kr) sin(lθ) .l=1143