ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy,R n x ∈ R n ,bisogna introdurre una funzione E n (r) tale che (i) E(x, y) = E n (‖x − y‖),(ii) vale l’equazione differenziale(1 dr n−1 dE )n+ k 2 Er n−1 n (r) = − δ(r) ,dr drr n−1 Ω ndove Ω n é la misura di S n−1 , e (iii) E n (r) si comporta come onda sferica decrescentein R n per r → +∞. Per le applicazioni in fisica e ingegneria in cuiIm k ≥ 0, otteniamo per n ≥ 3 11E n (r) = − 1 ( ) (n−2)/2 kH (1)(n−2)/24π r(kr).(VI.66)Infatti, per n = 2, 3 risulta⎧⎨i4 H(1) 0 (kr), n = 2,E n (r) =⎩e ikr4πr , n = 3. (VI.67)Per n = 3 la soluzione dell’equazione di Helmholtz (V.65) ha la formau(x) = 1 e4π∫R ik‖x−y‖‖x − y‖ f(y) dy, x ∈ Rn . (VI.68)nConsideriamo l’equazione di Helmholtz tredimensionale∆u + k 2 u = 1 (r 2 ∂u )− 1 r 2 ∂r r L Bu + k 2 u = 0,2(VI.69)dove Im k ≥ 0, r = ‖x‖ 2 > r 0 (> 0) e L B è l’operatore di Beltrami. Allorau(r, θ, ϕ) =∞∑ l∑l=0 m=−lu l,m (r)Y ml (θ, ϕ), (VI.70)dove∫u l,m (r) = u(r, θ, ϕ)Y l,m (θ, ϕ) sin ϕ dϕ dθ.S 211 Per n ≥ 3 e k → 0 deve risultare la (V.35). Ciò necessita uno studio del comportamentoasintotico della funzione H (1)(n−2)/2(kr) per k → 0.142