ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

doveH(r, ω, ˆω) =∞∑l=1Ll( N(l,n)r l−1 ∑L)s=1y l,s (ω)y l,s ( ˆω).(VI.61)Per l’esistenza bisogna richiedere ∫ h(ω) dω = 0, mentre per l’unicitàS n−1richiediamo ∫ u(x) dx = 0.ΩPer n = 2 abbiamo N(l, 2) = 2 − δ l,0 , ω ≡ θ ∈ [0, 2π], y 0,1 (ω) = (2π) −1/2 ,y l,1 (ω) = π −1/2 cos(lθ), e y l,2 (θ) = π −1/2 sin(lθ). Dunque(G(r, θ, ˆθ) = 1 ∞)1π 2 + ∑ ( r) lcos l(θ − ˆθ) = 1 L 2 − r 2L2π L 2 − 2rL cos(θ − ˆθ) + r ,2l=1H(r, θ, ˆθ) = 1 π∞∑l=1Ll( rL) l=1cos l(θ − ˆθ) =12π log L 2L 2 − 2rL cos(θ − ˆθ) + r 2 .3.2 Equazione di HelmholtzUtilizzando la (V.31) e la (V.32) e applicando la separazione delle variabiliψ(r, ω) = R(r)ψ(ω) (con r > 0 e ω ∈ S n−1 ) all’equazione di Helmholtzn-dimensionalen∑∆ψ + k 2 ∂ 2 ψψ = + k 2 ψ = 0, (VI.62)∂x 2 jotteniamo l’equazione differenziale ordinaria( ) ()1 d n−1 dRr + k 2 l(l + n − 2)− R(r) = 0,r n−1 dr drr 2j=1(VI.63)mentre y(ω) è una funzione sferica di grado l in n variabili. Per n = 2 risultal’equazione di Bessel di ordine l nella variabile kr. La sostituzione R(r) =r γ ˜R(r) nella (V.63) rende˜R ′′ (r) + 2γ + n − 1r˜R ′ (r) +()k 2 (l − γ)(l + γ + n − 2)−r 2˜R(r) = 0.Per γ = 1 − 1n risulta l’equazione di Bessel di ordine l − 1 + 1 n nella variabile2 2kr˜R ′′ (r) + 1 r ˜R ′ (r) +(k 2 − (l − 1 + 1 )2 n)2 ˜R(r) = 0. (VI.64)r 2Per risolvere l’equazione di Helmholtz non omogenea∆u + k 2 u(x) = −f(x), x ∈ R n , (VI.65)141