ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

3.1.fEquazione di Laplace nella sfera n-dimensionalePer n ≥ 2 conviene cercare le soluzioni dell’equazione di Laplace ∆u = 0 nellaregione sferica {x ∈ R n : ‖x‖ 2 < L} nella seguente forma:( r) lu(r, ω) = y(ω), r > 0, ω ∈ S n−1 , (VI.57)Ldove y(ω) è una funzione sferica di grado l = 0, 1, 2, . . .. Sia N(l, n) il numerodelle funzioni sferica di grado l in n variabili linearmente indipendenti. 9 Alloraesiste una base ortonormale{y l,s (ω)} s=1,...,N(l,n);l=0,1,2,...dello spazio di Hilbert L 2 (S n−1 ) che consiste esclusivamente in funzioni sferiche.Data la funzione g ∈ L 2 (S n−1 ), si ha lo sviluppog(ω) =∞∑l=0N(l,n)∑s=1c l,s y l,s (ω),dove∫c l,s = (g, y l,s ) = g(ω)y l,s (ω) dω.S n−1In tal caso la funzione armonica u(r, ω) nelle regione sferica di raggio L chesoddisfa alla condizione di Dirichlet u(L, ω) = g(ω) ha la formau(r, ω) =∞∑l=0( N(l,n)r l ∑L)s=1∫c l,s y l,s (ω) = G(r, ω, ˆω)g( ˆω) d ˆω,S n−1(VI.58)doveG(r, ω, ˆω) =∞∑l=0( N(l,n)r l ∑L)s=1y l,s (ω)y l,s ( ˆω).(VI.59)La funzione armonica u(r, ω) nella regione aferica che soddisfa alla condizioneal contorno ∂u (L, ω) = h(ω) ha la forma10∂ru(r, ω) =∞∑l=1Ll( N(l,n)r l−1 ∑L)s=1∫c l,s y l,s (ω) = H(r, ω, ˆω)g( ˆω) d ˆω,S n−1(VI.60)9 Quindi N(0, n) = 1, N(1, n) = n, N(l, 2) = 2 per l ≥ 1, N(l, 3) = 2l + 1, N(l, 4) =(l + 1) 2 , e N(l, n) = (2l+n−2)(l+n−3)!l! (n−2)!.10 Si spieghi poichè G(r, ω, ˆω) e H(r, ω, ˆω) dipendono soltanto da (r/L) e ω · ˆω.140