ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Di conseguenza,f(z) = 1 ∮ [ 1f(ζ)2πi |ζ|=ρ ζ − z − 1 ]dζ.ζ − z ∗(VI.56)Ponendo ζ = ρe iˆθ e z = re iθ si calcola facilmente che1ζ − z − 1ζ − z ∗ = 1ζ − z − 1ζ − ζζzSostituendolo nella (V.56) otteniamou(re iθ ) = 12πi= 12π∫ πf(ρe iˆθ)−π∫ πf(ρe iˆθ)−π= |ζ|2 − |z| 2ζ|ζ − z| 2ρ 2 − r 2=ρe iˆθ(ρe iˆθ − re iθ )(ρe −iˆθ − re −iθ )ρ 2 − r 2=ρe iˆθ(ρ 2 + r 2 − 2ρr cos(θ − ˆθ)) .ρ 2 − r 2ρe iˆθ(ρ 2 + r 2 − 2ρr cos(θ − ˆθ)) iρeiˆθ dˆθρ 2 − r 2dˆθ.ρ 2 + r 2 − 2ρr cos(θ − ˆθ)Infine, per ρ → L − risulta per r ∈ [0, L) l’integrale di Poissonu(re iθ ) = 1 ∫ πL 2 − r 2g(ˆθ)dˆθ.2π −π L 2 + r 2 − 2Lr cos(θ − ˆθ)Sia Ξ un sottoinsieme aperto e semplicemente connesso 8 di R 2 tali cheΞ R 2 . Secondo il Teorema di Riemann ([9], Vol. III, Th. 1.2) esisteuna trasformazione biunivoca e analitica ˜φ : ˜Ξ → ˜Ω. In tal caso anche latrasformazione inversa ˜φ −1 : ˜Ω → ˜Ξ è analitica. Le trasformazioni ˜φ e ˜φ −1 sichiamano trasformazioni conforme. Definiamo ora φ : Ξ → Ω daφ(x, y) = (Re ˜φ(x + iy), Im ˜φ(x + iy)), (x, y) ∈ Ξ.Allora φ induce una corrispondenza biunivoca tra funzioni armoniche in Ξ efunzioni armoniche in Ω. Le funzioni armoniche in Ξ sono le funzioni φ −1 ◦u◦φ,dove u è armonica nel disco Ω. Conoscendo le trasformazioni conformi tra Ξ eil disco Ω tali che c’è anche la corrispondenza biunivoca tra i punti delle lorofrontiera, si può risolvere l’equazione di Laplace in Ξ sotto la condizione diDirichlet utilizzando le trasformazioni conformi e l’integrale di Poisson.8 Cioé, tale che il complementare R 2 \ Ξ è connesso, cioè un dominio senza buchi.139