ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1 (zn /n) = − log(1 − z) per |z| < 1. 63.1.eEquazione di Laplace e funzioni analiticheOgni insieme aperto Ω in R 2 corrisponde ad un unico insieme aperto ˜Ω in Cnel seguente modo:(x, y) ∈ Ω ⇐⇒ x + iy ∈ ˜Ω, z ∈ ˜Ω ⇐⇒ (Re z, Im z) ∈ Ω.Ad ogni funzione analitica f : ˜Ω → C corrispondono due funzioni u, v : Ω → Rdi classe C ∞ che soddisfano alle cosiddette equazioni di Cauchy-Riemann∂u∂x = ∂v∂y ,∂v∂x = −∂u ∂y .(VI.54)Infatti, u(x, y) = Re f(x + iy) e v(x, y) = Im f(x + iy) per (x, y) ∈ Ω. Diconseguenza, u and v sono funzioni armoniche nel senso che∂ 2 u∂x 2 + ∂2 u∂y 2 = 0,∂ 2 v∂x + ∂2 v2 ∂y = 0. 2(VI.55)D’altra parte, ogni coppia di funzioni armoniche u, v : Ω → R di classe C 2 chesoddisfa alle equazioni di Cauchy-Riemann (V.54) determina un’unica funzioneanalitica f : ˜Ω → C tale che u(x, y) = Re f(x + iy) e v(x, y) = Im f(x + iy)per (x, y) ∈ Ω. Le funzioni armoniche u, v si dicono coniugate armoniche. 7Consideriamo ora Ω = {(x, y) ∈ R 2 : √ x 2 + y 2 < L} e dunque ˜Ω = {z ∈C : |z| < L}. Come nella Subsection 3.1.d, cerchiamo una funzione armonicau : Ω → R che soddisfa alla condizione di Dirichlet (V.48). Sia v : Ω → Runa coniugata armonica di u e sia f : ˜Ω → C la funzione analitica definita daf(x+iy) = u(x, y)+iv(x, y) per (x, y) ∈ Ω. Scegliendo ρ ∈ (0, L), applichiamoora la formula integrale di Cauchyf(z) = 12πi∮|ζ|=ρf(ζ)dζ, |z| < ρ.ζ − zSia z ∗ = ρ 2 /z. Allora |z ∗ | = ρ 2 /|z| > ρ. Dal Teorema di Cauchy segue∮1 f(ζ)dζ = 0.2πi |ζ|=ρ ζ − z∗ 6 Si intende il ramo del logaritmo che è una funzione analitica nel semipiano complessodestro con valore log(1) = 0.7 Conoscendo u, si può trovare v dalle equazioni di Cauchy-Riemann, ma tranne untermine constante arbitrario.138